古希腊的数学传统主要是几何与代数, 几何的传统来自于欧几里得(Euclid, 约公元前 300 年), 代数的传统来自于丢番图(Diophantus, 约公元 250 年). 我们在高中阶段已经学到了欧几里得几何和解各种方程的代数, 在初中的数学里多少也接触到了一些几何与代数. 现代数学把几何、代数推到更高级的地步, 主要归功于另一门现代数学——分析数学. 

进入大学以后, 数学系的学生就要学习几何、代数、分析等高等数学, 其中数学分析就是最主要的一门课. 大部分学生能够终身记住应用的, 主要的也就是这门课程. 这门课的主要内容的研究发展发生在 14—16 世纪欧洲文艺复兴以后, 也是人类纯粹理性思维最早在科学上突破传统的部分. 数学分析涵盖了一元微积分、无穷级数、多元微积分等方面的知识, 是分析数学的基础课程，为数学专业后继课程及交叉学科的学习提供必要的知识储备, 同时对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用. 在数学专业后续课程中，微分几何就必须用数学分析的办法来处理.

那么什么是数学分析? 简单说就是微积分. 微积分为什么这样重要? 这是本书首先要传递给读者的. 如果说中学的数学是常量的、静止的、有穷的数学, 那么数学分析教给我们的是变量的、运动的、无穷的数学, 这是人类思想史上最为壮观的里程碑，也和马克思主义哲学认为“世界是变化的、运动的”观点极为吻合. 从某种意义上讲, 微积分是一种关于无穷的数学. 物理的世界, 都是有穷的, 甚至我们使用的语言. 但是现代数学却要处理无穷.这当然不是凭空想象. 例如你要知道一个圆的面积, 就必须要用圆的无穷多内接正多边形去逼近, 有穷的内接正多边形永远做不到, 所以无穷有现实的基础. 但无穷是什么? 这显然超出经验之外, 不学数学分析应该是难以理解的. 为此德国伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert, 1862—1943)曾经感慨地说: 在某种意义上, 数学分析是有关无穷的交响乐(In a certain sense, mathematical analysis is a symphony of the infinite). 诺贝尔物理学奖获得者、物理学家费曼(Richard Phillips Feynman, 1918—1988)曾说过, 你最好学习微积分吧, 那是上帝的语言(You had better learn it, it’s the language God talks).

数学分析是现代数学最令人惊叹的成就之一. 本教材力争将无穷这样一个在现实中难以找到原型的概念通过有穷的逻辑步骤逐步实现, 进而达到自如地应用. 这自然是微积分被创立以来, 历代数学家努力的成果. 我们在定义的引出、定理的证明、例题的安排等方面参考了几部重要的数学分析教材, 吸收了 20 世纪几位重要数学家的观点, 为读者展现波澜壮阔的数学史画卷，重视学生数学史等科学素养的提高，还体现了工科院校数学专业基础课的特点，具有自己的见解和亮点，这包括如何用有限的语言刻划无穷、用有穷逼近无穷的速度，与数学其他课程的衔接, 以及数学为什么必须抽象化才能在更高的层次上解决问题等, 让学习者能明白数学的概念虽然是人为的, 但也是自然的. 通过本课程的学习, 学习者必将能够深刻理解数学分析这个人类伟大的思想结晶为何必然引导科技的产生, 开创更灿烂的物质文明. 对这门课程的理解, 也可以让我们明白为什么通过数学, 能够发现宇宙的客观规律. 自然地, 学过本课程后, 还有许多未解的新问题, 但需要明白的是, 这些问题是在更高层次上提出的新问题.

全书主要分为一元微积分和多元微积分两大部分. 一元微积分是基础中的基础. 我们在第 1 章开篇就谈微积分与开普勒三大定律的关系, 历史上, 开普勒三大定律是现代科学的 起源问题, 也是催生微积分的大问题. 初学者自然可以跳过这个物理背景的问题, 等掌握了一元微积分, 再回过头看就彻底理解了这个问题. 第 2 章讲实数、集合与函数, 它们是微积分研究的基本对象. 第 3 章介绍数列极限. 无理数是有理数的极限 等价于说只有用无穷多的有理数才得到无理数. 通俗点说, 无穷是有穷的无限逼近, 但我们又需要通过有限的语言, 阐述无穷逼近的性质, 还特别地关心逼近的快慢程度, 只有快速逼近才有应用的意义. 第 4 章讲函数的极限. 一个复杂的函数可以是无穷多简单函数的逼近, 所以逼近、近似是现代数学极为重要的思想. 第 5 章讲微分, 微分是微积分的一个支柱. 曲线是无穷多的线段的拼接, 直线是我们所能了解、掌握的. 曲线的细微处就是直线，以直代曲是重要的研究方法. 第 6 章、第 7 章讲积分, 这是微积分的另一个支柱. 积分和微分是互逆的过程, 知道了与曲线相关的无穷多直线, 如何恢复曲线 本身就是积分的过程. 第 8 章是关于数列的无穷级数. 例如圆周率, 你难以写成有穷的分数, 必须是无穷的有理数的和才能求出圆周率. 第 9 章是函数的无穷级数. 一个复杂的信号, 总是简单信号的无穷和. 第 10 章的傅里叶级数给出了函数逼近令人惊奇的结论, 现代的信号处理离不开傅里叶级数. 第二部分是多元微积分，从第 11 章开始到第 17 章结束，把一维的问题推广到高维空间的任意曲面、任意立体几何图形, 表现了纯粹思维高度的灵活和超前的特征. 多元微积分和一元微积分的本质区别在于多元微积分有方向的问题, 可以引入外微分, 第 18 章则从抽象的角度统一，彻底理清了多元微积分的本质特征, 也说明了数学为什么必须抽象化才能看清问题的本质.

本文节选自《数学分析》（上下册）前言

郭宝珠，男，2003年国家杰出青年基金获得者，中国科学院数学与系统科学研究院研究员，华北电力大学数理学院教授。1984年硕士毕业于中国科学院系统科学研究所，1991年获香港中文大学应用数学博士学位。1999年中国科学院“百人计划”入选者；2009年山西省首届“百人计划”专家。曾任职北京理工大学应用数学系教授，南非金山大学（University of the Witwatersrand）计算机与应用数学讲座教授。主要从事从事无穷维系统的建模，控制，数值计算，偏微分方程解的研究。

韩励佳, 华北电力大学数理学院教授, 2017-2021北京市优秀德育工作者。2004年本科毕业于吉林大学数学学院，2009年获得北京大学基础数学博士学位，2009-2011在北京应用物理与计算数学研究所做博士后，2013至2014年访问美国布朗大学。主要从事应用偏微分方程和电力系统中数学问题的研究，教授数学分析课程近10年。

本书是华北电力大学数理学院数学分析教研组集体工作的总结, 结合了工科数理学院教师多年教学实践经验、教育背景和研究经历的优势编写而成.本书注重数学史等基本素养的引导, 使学习者能明白数学的概念虽然是人为的, 但也是自然的. 在定义的引出、定理的证明、例题的安排等方面系统参考了多本数学分析教材, 充分考虑了教学效果和需求. 同时，增加了数学知识的应用，设置了一些有特色的例子和一些有一定难度的内容, 便于有兴趣的读者进一步学习, 同时也指出了和其他数学课程的有机衔接, 起到抛砖引玉的作用. 全书主要内容分为一元微积分和多元微积分两大部分. 一元微积分包括实数的基本理论、极限、一元微分、一元积分、级数理论；多元微积分包括多元点集的基本理论、多元微分、重积分、曲线积分和曲面积分等.

本书可作为高等院校数学、统计学、数据科学、计算机等专业学生数 学分析课程的教材，也可作为相应专业学生报考研究生的辅导书或参考书， 还可作为数学教学人员和其他科技研究人员的教学参考书.

吸收了 20 世纪几位重要数学家的观点, 展现出数学历史的画卷, 又融合了自己的见解，注重数学史等基本素养的引导，具有工科院校数学专业基础课独有的特点和亮点。