摘要 四川大学高等代数考研试题一则(2024年).
设线性映射对空间的一组基满足
求空间的一组基,使得在这组基下的表示矩阵为
分析 先写出在这组基下的表示矩阵,再求出该矩阵与之间的过渡矩阵即可.为了减小运算量,能否讨论子空间上的线性映射,最后再拼接(因为实际没有参与运算)?
解 注意到
故为不变子空间,且在下的表示矩阵为
接下去只需要求出过渡矩阵,使得
最后令即可.这里可以利用来计算.为此,设
这样就得到了一个线性方程组
注意到该方程组有无穷多解,不妨取一组解为
故
进而在
下的表示矩阵为.
注 这里的过渡矩阵也可以利用三类初等相似变换(矩阵)来求得,请读者自行尝试(至少笔者认为直接待定系数简单些).
