摘要 云南大学高等代数考研试题二则(2024年).本文展现的并非试题解答,而是一个尝试的过程.
★设是维欧氏空间中的向量,满足对,有
证明: 线性无关.
分析 我们令,看看如果线性相关会发生什么,这时候考虑,其中为非零常数.此时
这表明,则
这就得到了矛盾,对于的情形,我们考虑使用反证法.
证明 反证.设存在不全为零的数,使得
不妨设,此时
结合题意,此时. 改写线性相关的条件,得到
则
但,故只能,这与假设矛盾.
★记是维复线性空间上的所有线性变换组成的线性空间.固定,定义上的线性变换为
证明: 是上的线性变换,且若使得对某个正整数,有,则的任一根子空间都是不变子空间.
分析 验证线性变换是众所周知的.我们来分析后一问,大胆一些,让,此时若记的根子空间为
还是大胆一些,取,此时, 则后续的重点在于如何对任取的,得到.
任取,则,所以我们有, 结合
故故,这就得到了我们需要的东西.
注 这里不取作尝试是因为此时是特征子空间(特殊情形未必能看出规律).
证明 对于一般的情形,只需要利用二项式展开进行推广即可.
参考文献
[1]姚慕生、吴泉水、谢启鸿. 高等代数学(第四版),复旦大学出版社, 2022年
[2]谢启鸿、姚慕生. 高等代数学习指导书(第四版),复旦大学出版社, 2022年
