写在前面 提前预祝各位假期快乐,同时也为曾经能够跟随娄本东教授学习偏微分方程而感到荣幸.
摘要 东京大学修士入学考试反应扩散方程试题一则.
日语试题
设为一有界光滑区域,且.记为上的外法向导数.设是上的非负连续函数.又是上的正值函数,且在上连续单减且下凸.
对于,考虑下列半线性热方程初边值问题
的非负解,且满足条件,即,
且均能延拓为上的连续函数.
(1)设,且非负.证明:
(2)对任意的,证明:
(3)设在上不恒为零.且.证明:对足够大的,不存在满足条件的非负解.
分析 (1)为Jensen不等式的积分形式,写成积分和利用下凸函数的性质就可以.(2)要利用这一条件,结合Green公式(Green恒等式)与(1)来做.(3)如果记
则,此时结合题意可以尝试做积分换元,以此得到下界估计.解 (1)不妨考虑的情形.此时由初等分解可知
这里,故(2)由Green公式可知
结合(1)推得下面来说明求导和积分可以交换次序,即由中值定理可知对任意,其中.而可以延拓为上的连续函数,进而有界,利用控制收敛定理即可.(3)记
由于非负,故存在正常数,使得,此时结合故当时,不存在满足条件的非负解.