摘要 中山大学数学分析考研试题一则(2024年).
★设在内连续可微,且.
(1)求上的满足,结果用表示.
(2)若将改为,问是否仍存在满足(1)的.
分析 我们来做一些转换,比如,
而
这容易想到曲线积分与路径无关的充要条件,在那里为了求“原函数”,我们取了个折线,这里同样有
对于后面一个问题,猜测问题可能出现在原点处,我们找一个满足的函数对,但在原点有奇性,比如
这里
任取中的曲线为,方向为逆时针,计算可知
但此时利用(1)中的表达式,将区域分为和,有
这就得到了矛盾.
解 这里补充一下的验证过程.
注 (1)某种程度上,本题是下面这个众所周知的题目的“逆”.这曾是上海师范大学的一道数学分析考研试题.
已知椭圆为,求曲线积分
解答是轻而易举的.
(2)有兴趣的读者可以进一步了解拓扑(代数拓扑)中有关星形区域(star domain) 的相关内容.比如环形就不是星形区域,一条直线或一个平面去掉一个点就不是星形区域,任何星形区域都是可缩集合,进而是单连通的.
