摘要 厦门大学高等代数考研试题一则(2024年).
★定义到的映射为
其中,且.
证明: (1)存在的一个维子空间,使得对任意,有.
(2)若是的两个维子空间,且对任意,有,则必有
分析 不妨考虑的情形,此时映射取为
此时.下面我们需要找一个维子空间,使得对任意,有.取
则满足题意. 取,取,其中,考虑
则
而.
这就意味着我们需要构造出一个维空间,可以利用上一问的结论.
注 做完尝试以后会发现这个例子取的并不好,但它给我们以启发,即需要利用和的差来制造的情形,这也恰是构造这一非空维空间的关键.
证明 (1)取
其中只有第个分量和第个分量为,而只有第个分量和第个分量为.
其中只有第个分量为,依次类推.则
满足题意.
后一问中为中的标准正交基,即只有只有第个分量为,其中.
(2)取,我们需要得出
故需要证明和.我们来说明前者,后者是类似的.将分解为,这里
故,下说明,即
若不然,则,取
则,取,则,但对,有,这就产生了矛盾.
参考文献
[1]姚慕生、吴泉水、谢启鸿. 高等代数学(第四版),复旦大学出版社, 2022年
[2]谢启鸿、姚慕生. 高等代数学习指导书(第四版),复旦大学出版社, 2022年
