摘要 某校高三导数复习题一则.
设函数.
(1)求在处的切线方程.
(2)若的极大值为,求的值.
(3)当时,若对任意的,都存在,使得,求的取值范围.
分析 (1)(2)两小问较为基本.第(3)小问是解的存在性问题.鉴于平时分析解的存在性问题都是
的形式,我们改写由此来研究与的值域,即 的值域是的值域的子集.解 (1)计算可知
故切线方程为.(2)由解得或.分类讨论如下:
(2a)当,即时,有
故极大值为不合题意,舍去.(2b)当,即时,此时,即,不合题意,舍去.
(2c)当,即时,有
故极大值为(3)由题意可知在上的值域是在上的值域的子集.利用(2c)的单调性情况分类讨论如下,
(3a)当,即时,有
符合题意.(3b)当,即时,有
此时只需(3c)当,即时,
此时只需无解,不合题意,舍去.综上所述,符合题意的的取值范围是.
注 请思考为什么(3a)中时的值域和(3b)中时的值域不完全相同.
