摘要 利用连续模处理一致连续性问题一则,题目来源为复旦数院数学分析(I)期末考试.
设,且.证明: 存在的充分必要条件是在上一致连续.
分析 若在上的一致连续,则需要
这里的处理手法可以是取整函数,即对取整后再开方,就得到了,从而分段处理.
反过来,只需要将区间分割为和来分别讨论的一致连续.
为了简化叙述,我们引入连续模.
连续模
设在上一致连续,则其连续模
是上的非负单增函数,满足
此外,对任意,有.
若是在上的连续模,则对任意
证明 若在上一致连续,则.对于,利用
故
令即可.
反之,对任意,以及任意的,
由于在上连续,故在其上一致连续,故
令,有
故在上一致连续.
参考文献
[1]楼红卫. 微积分进阶, 科学出版社, 2009年
[2]谢惠民, 恽自求, 易法槐, 钱定边. 数学分析习题课讲义(第二版), 高等教育出版社, 2018年
