摘要 学生问的习题一则(上海七宝中学高三期中考试填空题第12题).
平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆,且圆心在两定点所确定的直线上,结合上述知识,处理下述问题.
已知向量满足
求
的取值范围.
分析 我们首先需要处理两个问题,即如何用题目所给的Apollonius Circle(阿波罗尼斯圆)定义以及如何建立合适的平面直角坐标系.为此我们尝试令
此外是单位圆上的一点.
如此选取坐标系的原因包括,注意到和的模长都是,故选取,则,为此确定,即,由于题目中出现,故选取,即.
如此所求的式子就变为了
下面考虑使用题中的阿波罗尼斯圆,这里的目的还是转化,即将转化到一条直线上或令它们具有某种对称性.
设满足,这里利用初中知识就能算出.故我们又进行了一次转换
当共线时,有,此时有
当,此时有
更进一步的细节使用基本的几何知识即可得到验证,如是切点.
解 .
注 关于Apollonius Circle的证明可以利用角平分线定理.
