摘要 第十六届大数赛初赛数学B类数学分析部分试题选解.
★设,记
求与.
分析与解
我们忽略验证关于内闭一致收敛,以及,以及关于内闭一致收敛,以及这些过程.
计算可知
对于的情形应理解为,结合,我们来求和.
这里需要知道两个基本的结果,即
这里的处理方法是将分别展开为余弦级数与正弦级数.我们直接引用[1]的结果,即的余弦级数为
的正弦级数为
再使用Dirichlet收敛定理即可.
这里可能还可以用到的结论有
工具虽然也可以现场准备,但如果事先就有效率会更高.
接下去就是讲积分转化为级数求和,再交换积分运算和求和运算的顺序就行了.
★对于,记
令为中所有元素的和.计算极限和.
分析与解 不妨让,来看看此时分别是什么.
再令,此时
注意到中元素个数和每个元素的值均不超过,故,故.
下面来处理另一个极限.注意到
故
或者也可以利用定积分的定义,即
★设是常数,又设正数列和为正数且满足,且
(1)证明: 收敛并求极限.
(2)证明: .
分析与解 (1)先利用单调有界原理证明收敛,不妨设收敛于,再取极限可知,得到.
再利用Stolz公式,可知
(2)来看后一问,关键是利用上述结果,此时比较
我们可以利用来放缩不等式,我们希望有满足条件的和,使得
为达目的,令,记
则得到,此时类似上述结果,有.
参考文献
[1]陈纪修, 於崇华, 金路. 数学分析(第二版), 高等教育出版社, 2004年.
