摘要 武汉大学高等代数考研试题二则(2024).
★设是阶实矩阵,且,若是可逆矩阵,则是的倍数.
分析 先对试试“因式分解”,即
这时候记,就有等式右边似乎得到了一些有用的东西.
如果,那就可以继续代换
如果,那
如此一来就是方程的两个根.这时候想到
再取行列式
而,故必须是的倍数.
解 令,其中是的两个根,满足.则
两边同时取行列式,而,故必须是的倍数.
注 本题曾为国际大学生数学竞赛(IMC)试题.
这种手法在处理换位子结构中是比较有用的,类似的有
设是两个阶复方阵,且存在复数使得证明:存在可逆矩阵,使得与都是上三角矩阵.
注意到除了的情形外,所有情形均可化为的情形.
★设为多项式,且
证明:存在常数,使得
分析 注意到
故记是的所有虚数根(非实数根).整除就意味着有
而,我们就得到了一个关于
的线性方程组,但这里只有个方程,而该线性方程组系数矩阵存在一个阶非零子式
故系数矩阵秩为,即该线性方程组有通解
其中为常数.这是因为
故
结合就得到了结论.
解 同上.
注 这里请注意线性方程组的系数矩阵并非方阵,故无法直接得到
故接下去取从而得证的过程是有问题的.
