摘要 上海某高中高三月考数学最后一题一则.
写在前面 讲解本题的意义在于使学生对于函数能有较为直观和“自然”的理解.另一方面,对于最后一大题而言,适当地了解一些数学分析(微积分)的相关内容是有益处的.但需要注意的是,这种题本身不是重点,更不要为此喧宾夺主,忽视基础(上海高考基本不会这么考).事实上,数学题的解答和思考过程中,“直觉”和“试错”都是很关键的因素.
设的定义域为,若对任意,满足
均成立,则称是“平缓函数”.
(1)判断和是否为“平缓函数”.(不说明理由)
(2)若是以为周期的“平缓函数”,证明:对任意的,都有.
(3)设定义域为,且存在常数,使得为“平缓函数”.现定义数列,满足,且对成立.证明:对任意正整数,有
思考 这个表达式传递的信息是: 的“变化”是被的“变化”控制的.即如果的“变动不大”,那么的“变动也不大”.
对于(1)有具体的函数表达式,就需要从的表达式中提出,最好是,之后再对进行调整.由于不需要说明理由,故“直觉”也不失为一种手段.
对于(2),考虑利用周期,不妨就考虑上的情形(也许可以).之后比较与的大小关系进行讨论.
对于(3),这是一个迭代问题.观察到
以及是无穷递减等比数列求和的结果,自然想到再进行累加和放缩.
解 (1)断言与都是“平缓函数”.因为
以及
(2)不妨设.
当时,有
当时,不妨设,则
(3)由题意可知,故对任意,有
故注1(致学生) 请学生在理解(1)和(2)的过程的基础上,思考如此这般放缩的用意.
注2(致教师) 从数学分析(微积分)的视角出发.事实上,题中所给的条件为Lipschitz条件,由此可知在上一致连续.若使用Lagrange中值定理可避免(1)中较为繁琐的放缩,以及更为直观地得到(2).而(3)为压缩映射,由此映射迭代而得的数列是收敛数列,必有界.
