自然对数与Γ函数的无穷乘积表达式

文摘   2024-12-15 00:00   四川  

前面介绍了函数的无穷乘积(无穷乘积sinc函数的无穷乘积展开ζ函数的欧拉乘积式两个与双阶乘相关的公式)展开式,还介绍了一种一般的展开方法(魏尔斯特拉斯分解定理)。本文再介绍两个常用函数无穷乘积分解的例子,分别是自然对数和Γ函数(Γ函数的前世今生)的无穷乘积分解,即

其中,第二个等式中的γ是欧拉-马歇罗尼常数(调和级数与欧拉-马歇罗尼常数1+1/2+1/3+…+1/n=?)。第二个等式应该可以根据魏尔斯特拉斯分解定理推导出来。当用于近似计算式时,n取有限的值就可以。这种无穷乘积表达式各分式因子的分母中含有自变量,当分母趋于零时,前有限个因子的乘积就趋于无穷,所以这种无穷乘积式的前有限项乘积比幂级数的前有限项和更适用于表示极点附近的函数值。


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