数学上，很多一般的理论都是由特殊情况推广而得到的。例如，人类社会由于生存需要发明了最简单的数——自然数，然后由自然数推广又衍生出整数(自然数的公理化定义)、有理数、实数、复数，以及四元数(从复数到四元数)、八元数、十六元数等超复数，还有双曲复数(双曲复数)。随着数的发展，很多理论也被不断地推广。幂运算的指数从整数推广到有理数、实数、复数、四元数，阶乘的定义域从自然数推广到实数、复数(Γ函数的前世今生)，几何图形的维度也可以从整数推广到正实数(科赫曲线——一种具有非整数维度的图形)。
我们知道，对函数的导数继续求导就可以得到函数的二阶导数、三阶导数等任意整数阶的导数。相反积分可以看成求导的逆运算，因此函数的积分可以看成负一阶导数，继续积分则可以得到负二阶导数，负三阶导数…，原来的函数自身可以看成它的零阶导数。因此，导数的阶数可以是任意整数。那么导数的阶数是否也可以从整数推广到一般的非整数，或者说一般实数呢？
事实上确实可以这样操作，这样的导数被称为分数阶导数，目前有多种不同的定义，其中比较常见的两种分别是Riemann-Liouville分数阶导数:
和Caputo分数阶导数:
