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kummer公式

文摘 2024-12-22 00:00 四川

Kummer公式是一种用于表示伽玛函数的对数的无穷级数展开式，它可以表示为：

其中，γ=0.57721566…，是欧拉-马歇罗尼常数(调和级数与欧拉-马歇罗尼常数)，x的取值范围为(0,1)。其实等号右端的部分就是lnΓ(x)在(0,1)上的傅里叶级数(傅里叶级数;傅里叶级数的复指数形式)。

再将kummer公式与Γ函数(Γ函数的前世今生;Γ函数与广义阶乘函数)的递推公式

Γ(x+1)=xΓ(x)

以及

Γ(1)=1

结合，就可以计算出(0,+∞)上的任意值x的Γ(x)。

另外，根据kummer可以很方便地证明Lerch公式，也就是赫尔维茨ζ函数(黎曼ζ函数(黎曼猜想)的一种推广形式)在s=0处的偏导数值。

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