我们知道，很多函数都可以展开成无穷级数，函数展开成无穷级数有一般的展开方法，例如泰勒级数(解析函数的泰勒级数；泰勒级数与幂级数)跟傅里叶级数(傅里叶级数；傅里叶级数的复指数形式)。还有一些函数也可以表示成无穷乘积(无穷乘积；sinc函数的无穷乘积展开；ζ函数的欧拉乘积式；两个与双阶乘相关的公式)。不过往往方法往往都是具体函数具体处理。
其实也有将函数表示成无穷乘积的一般理论，例如魏尔斯特拉斯分解定理。
魏尔斯特拉斯分解定理
任意整函数(即复平面上处处解析的函数(解析函数与柯西-黎曼方程))f(z)可以分解为如下无穷乘积的形式：
其中g(z)是另一整函数，h是使上述无穷乘积收敛的最小整数，称为亏格。这种无穷乘积称为典范乘积。
求解g(z)的方法一般是等式两边同时取对数再求导数，这样右边就可以化为无穷级数形式，通过对比无穷级数理论中的相关结果得出g(z)的表达式。
魏尔斯特拉斯也是一个非常伟大的数学家，极限的ε-δ语言和ε-N语言就是他提出的。在此之前柯西对极限的定义是：“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差可以随意小，那么这个定值就称为变量的极限”(柯西与魏尔斯特拉斯对数列极限的定义)。
问题在于怎么才算“无限趋向于”和“随意小”？这种表述其实是模棱两可的。而魏尔斯特拉斯的定义则避免了这种含糊不清的说法，非常明确。
魏尔斯特拉斯提出极限定义之后，数学中其他很多概念的定义都参考了他的ε-δ语言或ε-N语言极限定义。魏尔斯特拉斯还构造了第一个处处连续但处处不可微(不光滑)的函数(魏尔斯特拉斯的病态函数)，其实这种函数的图像是一种分形(科赫曲线——一种具有非整数维度的图形；能够填满平面区域的曲线)。在此之前，学界普遍认为连续函数除了在个别可列个点上不可微之外，在其他的区间上都是可微的。例如函数f(x)=|x|仅在x=0这一点不可微。
