武汉大学 2024 年的高等代数试题总体难度中等，题量很少且没有任何的计算量，重点放在对理论证明能力的考查。涉及到了行列式求解、线性方程组的基础解系、高阶 Vieta 定理、迹的性质、可交换矩阵的同时对角化以及多项式的相关问题，对基本功的要求很好，中等的分数是 120+。该试题主要考查了以下知识点：
计算行列式，注意观察，三阶以上是不可逆阵，行列式为 0
矩阵的所有一阶主子式之和是特征值之和，所有二阶主子式之和是特征值两两配对的乘积之和
由零化多项式知，实特征值均为 0，复特征值为 ±i 且成对存在
压轴题，A^2+B^2=AB 可以类比 x^2+y^2=xy，将此作因式分解(也等价于对 t^2-t+1 作因式分解)，可以得到 x^2-xy+y^2=(x-ω_1y)(x-ω_2y)。但由于 A 与 B 不可交换，将上式右端的 x, y 换成 A, B 后，并不能得到 A^2+B^2-AB，而是 A^2+B^2-ω_2AB-ω_1BA，也就是 ω_1(AB-BA)，这恰好和题目已知建立了联系。本题也是武汉大学 2017 复试真题原题，也是选自 1997 IMC 第一天考试的 Problem 3。
可交换阵有公共的特征向量，可同时上三角化，数学归纳法
考虑矩阵的特征值为 1 的 Jordan 块的个数，结合相似的传递性证明
利用线性方程组的相关理论，结合系数矩阵的前 n-1 阶矩阵的行列式为 VanderMonde 行列式，得到秩为 1，从而求得基础解系
对分块矩阵作广义初等变换，得到秩等式
试题来源于 数学考研李扬，学习参考了樊启斌老师、陈现平老师书籍以及其他院校真题等资料，还有和老师同学的讨论，学习进步，非常感谢
