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每当涉及到数学的学习的时候，我们总会听到所谓的“数学思维”。但是当我们去问所谓的数学思维究竟是什么，这个问题却像是玄学一般。我们很难去想象一位数学能力超出于自己的同学是如何去看待和思考一个数学问题的，在网上寻求所谓的“数学思维”的教学所讲的无非也就是一些小学奥数题罢了。
我们需要去认识到，数学思维绝不仅仅是记住某些公式或者做题方法之类的，数学思维的关键在于“思维”二字，它是一种思考方式，一种关系到任何学科，关系到生活中的点滴决策的思维过程。本文主要注重于数学学习中思维思路的部分，这也是大多数同学很难搞明白的部分。笔者希望在自己的能力范围内，以简单而深刻的例子，为大家去介绍和抛砖引玉“数学思维”的思考。本文有一定难度，但是并不涉及十分困难的数学知识，建议静下心来慢慢阅读和思考，相信读者读完后能有很大的收获。![]()
在高中阶段，我们会学习到一种很基本的数列——等比数列（等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，这个常数叫做等比数列的公比，常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0）。那么，对于这样一个等比数列前n+1项的和S,就有：我们该怎么计算出S与n的公式关系呢？在高中数学中，有个很巧妙的方法：我们将S*2，就有了这样，我们就轻松地得到了这个数列的求和形式。那么我们就不妨去思考一件事情，那就是这个公式得出过程的适用性，它是否不仅仅对于这一个等比数列适用，而是我们能够借助类似于它的公式去计算其他的等比数列呢？让我们将它扩展一下，去以整个等比数列的视角来看。让我们写出一个一般化的等比数列：a , a∙q , a∙q² , a∙q³ , …… , a∙qⁿ很显然，我们只需要照葫芦画瓢，就能¹⁾得到一般的等比数列前n+1项的求和公式：![]()
当q的绝对值小于1，n趋向于无穷时，这个式子可以写成：S =![]()
思考一下，我们所扩展的方法实际上是什么？是依靠什么进行的？相信借助于扩展的过程，大家都能明白了，高中课本中之所以能够给出那样一种巧妙的方法，是通过乘以公比来创造出一个良好的相消结构，进而简化了整个式子。而之所以能有这种方法，正是因为提取到了原来式子结构中的生成规律。可能在很多人认为这个结构的作用就到此为止了，但是今天笔者想请大家不妨大胆一些，如果说我们不必拘谨于单纯的等比数列，而是把目光放的更大一点。如果，我们根本让q就不是一个数的话，会发生什么呢？ 从前文相信大家已经知道了，这个数列求和的式子的结构的产生，不过就是把后一项不断乘以q，我们不妨不仅仅局限于乘以q这样的操作，而是直接把它看做是一个任意的操作，我们不妨把它记成F。S =a + F∙a + F²∙a + F³∙a +……对于第一项，我们不妨定义不进行任何操作为O，于是上述式子就变成了：S =O∙a + F∙a + F²∙a + F³∙a +……由于O的作用等同于原来的1，F的作用类似于原来的q,我们类比于S = ![]()
，的推导过程将其符号化。a（1-q）的操作在现在就变成了a（O-F），![]()
，的操作就变成了![]()
S =![]()
同时，我们发现，除以（O-F），本质上就是进行乘以（O-F）的逆操作，我们便得出了：经过上述的过程，我们就得到了O + F+ F² + F³ +…… = （O-F）⁻¹这样一个等式。我们完全剥离掉了等比数列求和的场景，而是变成了关于操作F的一个一般的通用公式，它的外表被我们所剥夺，剩下所抽象出来的是这样精炼而深刻的结构表述。有的同学可能会疑惑，为什么我们要费劲地来提取出这个最基本的结构呢。那么接下来，我们来对它进行一些简单的应用，我们可以倒反天罡一下，试着把F换成一些和等比数列完全不相关的操作，比如说，积分: ) 这是一个很基本的泰勒展开式，我们接下来可以通过上述的结构来证明他。那么，我们依照之前的方法，将积分视为这个操作F，那么上边这个式子就变成了：我们如何来化简这个式子呢？很显然，可以通过对原来公式的逆运用。就有了：再结合指数函数要求，当x=0时应该右侧为1，就有了C = 1于是，我们就推出了![]()
的泰勒展开。。。 （留个思考题，同学们可以思考一下，到底什么样的操作可以遵循上面的公式，而什么样的操作不行，欢迎同学们在评论区或私下来和笔者讨论OVO）有一个很有趣的观点，认为所谓数学就是“搞抽象”。这个观点是有一定道理的，因为在数学探究和学习的过程中，所涉及的一个极其重要的思维方法就是将一个具体的问题不断抽象化，最终提取到它的本质，最终转化为逻辑间的问题来解决。摒弃对数字的直觉，而形成对数学的直觉，这是一笔划算的买卖。因此，笔者想传递给大家的是，很多时候，看似不同的数学对象其实享有共同的数学结构本质。我们在学习到某一个知识的时候并不应该停留在表面，而是应当去思考它的结构究竟是怎样的。有的人之所以能够做到“举一反三”，是因为他们能够去抓住问题的结构，并给这个骨架穿上不同的外衣罢了。有的人之所以能够快速抓住题目的主要矛盾，是因为他们能够关注到问题的结构本质，进而从这个骨架来作为关键点解决问题。我们都知道，北京高考的选填和大题的压轴题向来需要很强的数学思维，这些题目的解题方式往往堪称艺术，但我们应当关注到的是，考场上想出题目解法的灵光一现绝对不是空穴来风，而是在日常的积累中形成了对结构的认识，进而抓住问题的骨架了。所以，希望同学们能够在日常的学习中能够形成从一般性的问题不断探究直至深入本质的习惯。（况且这也是数学的美感得到展现的重要方式，或许能增进一点对数学的喜爱吧(ﾉ"◑ ◑)ﾉ"） ![]()
在数学里，分辨何事重要，何事不重要，知所选择是很重要的。在上文中，我们介绍了由数学的探索中蕴含的结构概括思维。不过在日常中，我们对数学的运用往往并不是空穴来风，而是来自于一些实打实的问题，而如何从一个巨大的问题中，抓住主要矛盾，通过转化、细化、探索来最终解决问题，则是我们的必经之路。本部分会通过对一道题目的解决过程来带领为大家提供对这些部分数学思维的思考。 （若还尚且看不懂题目的话可以先看一下下面这张中译中） 在前两问，出题人引领我们对这道题目涉及的结构进行了探索，这两问十分简单，请自行观看答案第1、2问和题目的重要之处在于，它们通过引领我们了解结构的生成过程，让我们意识到结构中所蕴含的性质，进而暗示了我们解决第三问所使用的方式。通过Part2中的抽象化思维，我们可以提取题目结构的生成过程是：②通过操作F，构建出有序数组Q到集合M的映射（M为对Q取遍F操作的输出）③检查M中的元素，看这些元素能从1开始的正整数连续取到哪个，并输出最后 取到的数m②集合M不具有有序性，我们可以不妨地操作它的顺序来方便解答现在，我们手里已经握住了这两张牌了，我们接下来所需要做的，即是观察局势，并实时地准备把它打出去。 在审题阶段，我们发现，由于它最终的目标是让我们证明出Q中元素的个数。我们需要做的第一件事情，是去思考按照一个什么样的路线才能到达这个结果。不知道大家小时候有没有走过纸上的迷宫，在走迷宫时，有个很常用的办法，就是在起点和终点两头同时开始走，这样能极大地降低走错路的可能。解决一道数学问题也是一样，我们需要明白一句话：“由已知想可知，由求证想须知”，这句话本质上就是走迷宫方式的数学翻版了。联系结构的生成过程，进一步分析，并把已知的性质加入进来，就有了：我们为了解决问题，一定是希望将问题简化，通过不断地转化，分析来使问题就像走迷宫的线一样，由终点处不断走向起点处，直到与来自起点的线相连。这样的须知显然才是更加利于我们解决问题的，因为它缩小了问题的范围，让我们能够有更多的注意力去关注它的细节。很多时候之所以一些大佬能够注意到其他人注意不到的细节，是因为他们能够将问题细化，将镜头拉近，观察到一些常人很难观察到的东西。下面，为了要证明k≠6，我们要好好看看k=6的情况了：我们发现，当k=6的时候，M中一共有21个元素，也就是说已知变成了：Ⅳ.M中的元素除了那个负数外，其他的元素是1-20的连续正整数不过很显然，20个元素堆在一块还是远远地超出了我们注意力的范围。接下来，我们想要进一步考察这种情况以提高特殊性，于是我们希望构建出一个良好的对应关系来帮助我们解题。那么，为了达到这样的对应，我们就希望去构建起一个顺序来让集合中这杂乱的20个元素产生顺序。那么去结合一下已知Ⅳ和已知Ⅲ，我们很自然地就想到了，既然M中的元素没有顺序的要求，而且a₁到a₆还都是不同的数，那么这点空间就可以留给我们来操作了啊！（喜）于是，我们就会自然而然地为Q中的项设序，不妨设a₁< …… < a₆吧。再来看我们所列的这张表，我们现在能够知道的就又有了：a₁+ a₂= 1，a₂+ a₃+ a₄+ a₅+ a₆= 20a₁+1+2+……+20=6（a₁+ a₂+ a₃+ a₄+ a₅+ a₆）Ⅳ.M中的元素除了那个负数外，其他的元素是1-20的连续正整数 Ⅷ.a₁+1+2+……+20=6（a₁+ a₂+ a₃+ a₄+ a₅+ a₆）再来整理思绪，我们现在的目标是找到数的大小的对应关系，那么这里面最为特殊也是限制能力最强，很明显可以成为我们的一个突破口，我们可以尝试去使用等式或者不等式来试着找出a₁的数值来达到证明k≠6。那么再细化，数值有什么性质可供探究呢？显然，有具体大小，正负，奇偶，质合，因数等。而在本题中，a₁的正负显然是一个很好探究的因素。我们可以继续结合已知的条件，结合一下已知Ⅶ和已知Ⅷ，就有了：这显然与a₁<0矛盾，于是k≠6，结合已知Ⅰ，题目就证完啦：)再回头看这道题，在这道题中，我们解题的脉络看似很难想到，其实仍然是在一些最基本的原则的指导下达成的。高考的压轴题所注重的，即是在面对完全没见过的新知识的时候，能够通过在这些原则的指导下来分析，最终各个击破，达到解题的目的。 我们所谓的审题，其实就是在分析题目所给出的结构的性质，之后的解答一定是建立在能够灵活运用这些性质的基础上的。高考中的压轴题所给的往往是新的知识，但由于其结构往往在日常的学习中便被涉及，其所具有的性质也往往同样蕴藏在日常的数学学习当中。能够准确地提取到这些性质信息，是题目考察数学思维的重要部分。“由已知想可知，由求证想须知”“由具体到抽象，再由抽象到具体”“从千百条道路中不断缩小范围，直到找到通往答案的哪条”，这三条就是上文中解题所用到的思路。他们一个指导着我们前进的方向，一个指导着我们对前方的洞察，一个指导着我们前进路上所用到的方式，共同把我们引向最终的答案。希望各位同学在日常的数学学习中，能够去体悟这样的思维方式和指导思想。
在百度百科中，它被描述为这样
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数学是一门重视逻辑的学科，数学思维本质上是一种逻辑思维，是对概念间的逻辑关系进行处理的方式。它广泛地应用于生活中，只要有涉及到理性的逻辑的地方，便会有数学思维的体现，因为它本身就是我们在解决问题时的自然而然的一种思想。
仔细思考我们是怎样解决一个问题的，我们在不断的经验中提取和细化一个问题的结构，并从中分析出它的结构所具有的性质，最后一一对着这些性质来想出种种方法解决问题。
曾有句话说“数学是最难科普的学科”为什么，因为数学本身的逻辑就是我们所拥有的，数学并不依靠客观的现象来立足，而是直接立足与我们脑中的逻辑。数学思维自然也不是立足于现实的现象，而是更根本地立足于我们的逻辑当中。一个人的数学思维不只是在简单的做题或是背诵知识点，而更是生活中有逻辑有理性的行为。没有人会离开数学，因为数学不只是数，它更是一种逻辑，一种哲学思想。
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再回过头来看我们日常中的数学学习，我们的做题和积累的根本目的实际在于强化我们对于结构提取的能力，深化我们对于性质的认知，丰富我们出手的技巧。盲目的刷题反而只会导致思维的僵化。有人说高考题目不在课本里，有人说高中数学与高等数学没有关联，但是高考压轴题所需要的思想和技巧哪个不在课本中呢？高等数学的知识哪个不是高中数学知识“超进化”来的呢？数学的发展和学习不是一蹴而就的，而是在一个概念逻辑上的不断深化，是文中所提的数学思维的层层作用下的发展。
所以说，如果你想要去锻炼自己的数学思维，首先需要的是去不再怀有十分抗拒的心态面对困难，而是去关心于一个难题的解决，不论这个问题是来自于一道题目或是生活所需。数学思维是在日常的积累中产生的，一道难题或许意味着抓耳挠腮花上数十分钟，但同时也是一次绝佳的思维试炼；一个困难的知识或许是令人难啃的存在，但同时它也能让你从新的角度再一次认识原有的知识体系；生活中的一点困难，或许意味着麻烦的存在，但同时也是你见识新世界的契机。笔者想，去培养数学思维的路，本身也就在一定程度上意味着个人逻辑思想的发展和成熟。
再说回到日常数学的学习上，相信大家读完这篇文章后也一定对接下来的数学学习该如何规划有一定自己的观点了。笔者希望同学们在数学的学习上不要和数学“较劲”（毕竟人急了什么都能做的出来，除了数学题），而是要去体会和贴合数学，为做题而做的题是无效的，我们应当形成成结构成系统的数学知识，通过积极地探索和思考来逐渐养成富有逻辑性的数学思维。普通的同学可以通过对课内知识的梳理和题目的梳理过程来形成结构化的思维，学有余力的同学们可以去进一步学习一些简单的数学竞赛和大学的数学知识来扩充视野，加深你对结构的认识。
文章至此也该结束了，最后，笔者祝愿大家在接下来的数学学习中能够摆脱数学恐惧，能学好数学、爱上数学吧(*￣︶￣)。
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