“运算”之于数学，吾之感：初似本之于木，无本之木难存；又若源之于水，无源之水难清。“运算”之重要性，不言而喻。
《老子》有云：九层之台，起于累土。盖“运算”之能力，数学大厦之根基是也。是故，小书童于2022年暑假闲暇，撰写《运算能力的培养之速算》系列文章，以期夯实孩子们的运算能力。
【补记】无奈，暑假期间种种原因没有撰写完成，在寒假继续完善……
△运算能力的培养
今天的这篇文章主要是和孩子们一起学习“整数的乘法分配律推广到小数”。此前，已经在公众号里写过一篇关于乘法分配律的随笔——“网课心得兼论《乘法分配律》”。先上结论：整数的乘法分配律，对于小数依然适用！
乘法分配律的意义 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。 用字母表示： （a＋b）×c＝a×c＋b×c 或者： a×（b＋c）＝a×b＋a×c |
怎么验证乘法分配律？可以根据乘法的意义、生活的经验、图形的直观等几个路径去验证，具体可以查阅此前公众号文章“网课心得兼论《乘法分配律》”。乘法分配律最令人心喜的地方是，它敢于打破规则的束缚，成就自由的自己，展翅翱翔于运算的天空——但是，却是正确的！比如：
例1 怎样简便就怎样计算。
（4＋8）×25
原先我们的规则是先算小括号里面的4＋8，然后再将得数12与25相乘，乘法分配律的新规则是先用4与25相乘得100，再用8与25相乘得200，最后将两次的乘积100与200相加，口算得出最终结果是300。很明显，4×25、8×25与100＋200的计算难度和复杂度远远低于12×25相乘。因此，我们说，乘法分配律对于某些算式而言，计算速度和准确度上的价值是巨大的。让我们把这个算式脱式完成吧！
（4＋8）×25
＝4×25＋8×25 ←4与8分别与25相乘，再相加
＝100＋200
＝300
在我们学习乘法分配律之前，就已经在运用乘法分配律指导我们的数学学习了，只不过，那时候，我们还不认识它而已。还记得我们是怎么笔算25×12的吗？
多么完美的融合！可见，乘法分配律与乘法交换律、乘法结合律以及加法交换律、加法结合律一样，是“计算”这座大厦的基石。
我们理解了乘法分配律的意义，就可以根据它来进行很多计算（我们主要讨论显性的、有明显数字特征的算式，像乘法竖式虽然也是在利用乘法分配律，但这篇文章里不讨论），而且我们的计算是快速的。记住：天下武功，唯快不破！老规矩，我们依然分成几个题组来进行学习！
“拆”
“拆”是乘法分配律的基本功，是乘法分配律的“基本型”。即：计算形如（a＋b）×c，我们只需要把括号里面的两个数a和b，拆开分别与c相乘，将乘得的积相加就可以了。拆字诀：合起来算，不如分开算！
例2 怎样简便就怎样计算。
（25＋12）×8
＝25×8＋12×8
＝200＋96
＝296
我们按照以前学习的混合运算的计算顺序，重新再来算一遍。（什么？为什么要重新计算？学习总是在对比中进行比较好，“没有买卖就没有伤害”，不感受一下过去的“不好”，怎么会对现在的“好”说喜欢呢？）
（25＋12）×8
＝37×8
＝296
对比一下两种不同的计算方法，你有什么感受？如果你觉得，两种不同的计算方法的难度差不多啊，那好，我尊重你的感觉！用你的方法再计算一道吧！
例3 怎样简便就怎样计算。
（80＋4）×125
＝84×125
＝？
怎么样？两位数乘三位数喽，哇，这次计算起来，真的是好麻烦啊！没事，没事，我们运用乘法分配律再计算一遍吧！
（80＋4）×125
＝80×125＋4×125 ←8与125相乘是1000
＝10000＋500
＝10500
怎么样？现在感觉又如何？虽然，我们在计算形如（a＋b）×c，我们只需要把括号里面的两个数a和b，拆开分别与c相乘，将乘得的积相加就可以了，但是，有时候，a与b的和比较隐蔽，需要我们用心地去观察、思考才行。比如：
例4 怎样简便就怎样计算。
84×125
怎样计算才是简便呢？仔细观察，然后想一想！哈哈，被小书童吓唬住了吧？是的，我们以前就学过，可以看到125就要想到8、4、2……等一些双数，而84就是双数，一定要“拆”开来计算。现在你开始简便计算吧，稍后，与下面地计算对照一下！
84×125
＝（80＋4）×125 ←先把84拆成80与4，转化成例3
＝80×125＋4×125
＝10000＋500
＝10500
现在来想：隐蔽在哪里呢？原来，小括号里面的算式已经帮我们计算出来，并去掉了小括号，也就是说，“84”原来的样子是“（80＋4）”。隐藏了我们就不会了么？太小瞧人了！一句话：通常两个数相乘，可以想办法把其中的一个数拆成容易计算的两个数（有限多个数也是可以的）。
孩子们，现在再来对比两种算法——“硬着头皮算”与“运用乘法分配律简便计算”，你的感受又如何？“转化”真的是太厉害了！对了，我们课堂上聊过，数学家与物理学家烧水的故事！你还记得吗？
化归与转化的数学思想
网上流传着这样一则故事。匈牙利著名数学家路沙·彼得曾提出这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；接着，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了半壶水，那你又应当怎样去做呢？”这时物理学家往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”而数学家的回答应是这样的：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我已把后一问题化归成原先的问题了。”
好了，现在我们开始比较隐蔽的、可拆分的、乘数里有“小数”的简便计算。
例5 怎样简便就怎样计算。
12.5×1.8
＝12.5×（1＋0.8）←把12.5想成125，拆出来0.8
＝12.5×1＋12.5×0.8
＝12.5＋10
＝22.5
“合”
与“拆”相同，“合”也是乘法分配律的基本功，只不过是乘法分配律的逆向使用罢了。如下图：
它的基本结构是：“乘-加-乘”转化成“合-乘”。这一类的特点，就是“乘-加-乘”的部分具有相同的乘数c，且另外两个乘数的和a+b是“比较整的数”。这个“比较整的数”既可以是10、100，也可以是1、0.1等。只要容易计算a+b的和与c相乘就可！合字诀：分开算，不如合起来算！
例6 怎样简便就怎样计算。
37×64 ＋ 63×64 ←符合“乘-加-乘”基本结构
＝（37＋63）× 64 ←37＋63“比较整”
＝100×64
＝6400
同样的，逆向使用的乘法分配律同样适用于小数。需要我们注意的是：①“乘-加-乘”的基本结构中，“加”也可以是“减”，“乘”也可以是“除”，并且可以推广到“乘-加-乘-加-乘”等有限多个乘法算式相加；②有时候，“乘”可能是一个数，而不是一个式子，需要我们对它进行“×1”变形出来乘法算式。
例7 怎样简便就怎样计算。
（1）167×2＋167×3＋167×5
＝（2＋3＋5）× 167
＝10×167
＝167
（2）28×22.5-2×22.5-6×22.5
＝（28-2-6）× 22.5
＝20×22.5
＝450
（3）0.39×1.8＋0.3×0.39-0.39×0.1
＝（1.8＋0.3-0.1）× 0.39
＝2×0.39
＝0.78
“凑”
相比较“拆”与“合”，“凑”就是乘法分配律的天花板了。打个比方吧，我们跑100米，“拆”与“合”可能是13秒，“凑”可能就是10秒以内了。举几个例子，体会体会！
例8 怎样简便就怎样计算。
35×99←把99凑成“比较整”的100
＝35×（100-1）
＝35×100-35×1
＝3500-35
＝3465
对了，两位数×99，是有速算的哦。你还记得吧？贴图，看看能不能换起来你的回忆？
我们再来看一个“凑”的例子！
例9 怎样简便就怎样计算。
7.4×2.6＋74×0.75-0.74×10
通过观察，我们发现这道算式的结构是“乘-加-乘-减-乘”符合乘法分配律的结构，可以我们没有找到“相同的乘数”，怎么办？想办法呗！没有条件创造条件也要上！我们知道，小数和整数具有概念上的一致性，那么我们可以把算式中所有的乘数都“想”成整数，就会发现这个相同的数是“74”！OK！接下来你能解决掉它吗？
7.4×2.6＋74×0.75-0.74
＝7.4×2.6＋7.4×7.5-7.4×0.1
＝7.4×（2.6＋7.5-0.1）
＝7.4×10
＝74
乘法分配律至少涉及两种运算，其难度与复杂度远超乘法交换律和乘法结合律。同一道题，每个人的感觉是不同的，选择的策略也可以不同。思维最重要的品质是灵活！我们切不可一棵树上吊死。比如：
例10 怎样简便就怎样计算。
125×48
不同的人，肯定会选择不同的简便计算的策略。我们不妨设想一下大家都有什么简便方法。
这样？
125×48
＝125×（40＋8）
＝125×40＋125×8
＝5000＋1000
＝6000
这样？
125×48
＝（100＋20＋5）×48
＝100×48＋20×48＋5×48
＝4800＋960＋240
＝6000
这样？
125×48
＝125×（50-2）
＝125×50-125×2
＝6250-250
＝6000
这样？
125×48
＝125×（8×6）
＝（125×8）× 6
＝1000×6
＝6000
这样？
……
不管怎么样，总有你自己的简便策略。你觉得哪种简便策略最好？
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