吕鹏、纪志刚|印度文字记数法及其文化背景探析

一、 印度数学文献介绍

由于印度次大陆上最早的印度河流域文明（Indus Valley Civilization）没有文献留存，已知印度最早与数学有关的知识见于雅利安人的宗教圣典《吠陀》（Veda，意为“知识”，成书于公元前1500年至前800年），其中就有一套较完善的基于十进制计数法的数词系统。为解释和补充《吠陀》，后来还发展出被称为“吠陀支”（vedāṅlga，意为“吠陀的分肢”）的六种辅助学科，即音声、格律、语法、词源、历法和仪轨。其中，在讲述历法的《竖底沙论》（Jyotiṣa，意为“天文学”，也音译为“周谛示”）和仪轨类文献《绳法经》（Śulbasūtra）里可以找到大量的数学内容。因此印度数学的成立至少能追溯到吠陀支文献的编纂年代，即公元前1000年至前600年左右。

历史上的印度数学文献根据大致的时间顺序和文化背景可分为吠陀支数学、耆那教数学、实用数学三大类。吠陀支数学即那些包含在吠陀辅助学文献中的数学内容，如《竖底沙论》中有比例算法“三量法”、时间单位的换算、计算日夜长度时所使用的折线函数及计算日月位置的同余式等；《绳法经》则规范了大型圣火祭祀（agnicayana）中所使用的火祭坛的营造，因而其中也有大量的，并具有相当程度的几何学知识。

耆那教数学是指包含在耆那教经典中的一些数学内容，以及那些身为耆那教徒的印度数学家的成就，如马哈维拉（Mahāvīra）的《算术集粹》（Gaṇitasārasaṅgraha，9世纪）等。耆那教数学主要有以下特色：数的分类和无限大的序列、指数计算、排列与组合、级数求和及几何体计算等——它们都和耆那教所奉行的原子论思想和无穷观念有关。

最后是实用数学这个分类，其来源之一是公元6世纪后发展出的以阿耶波多（Āryabhaṭa，生于476年）的《阿耶波多历算书》（Āryabhaṭīya，499年）为开端的印度数理天文学文献，其次还有一些纯粹的数学专著，如《巴克沙丽抄本》（Bakhshālī Manuscript，8世纪左右）等。这里所谓的“实用”是指这些文献的编纂目的主要并不是为了宗教祭祀或是哲学讨论，而是为服务于天文、商业等实际需要。因此，它们与中算一样具有鲜明的算法化倾向。除《阿耶波多历算书》之外，较为重要的此类著作还有7世纪婆罗摩笈多的《婆罗摩修正体系》（Brāhmasphuṭasiddhānta，628年）、婆什迦罗一世（BhāskaraⅠ）的《阿耶波多历算书注释》（Āryabhaṭīyabhāṣya，629年）以及12世纪婆什迦罗二世（BhāskaraⅡ）的《天文体系之冠》（Siddhāntaśiromaṇi）。数学在这些书中也往往都能独立成章，并且其内容不仅仅局限于天文计算，也囊括了更加一般的数学知识。例如《阿耶波多历算书》的第2章就为纯数学，《天文体系之冠》共分为四部，其中的两部《莉拉沃蒂》（Līlāvatī）和《算法本源》（Bījagaṇita）则专门讲授了算术和代数。

二、 数学文献中的四种数的文字表记法

通常我们在进行数量的记录时有两种表记方式：文字式的数词和符号式的数字（数码）。各语言中都有用文字来描述数量的词语，即数词，它具有发音功能。不同的文明也创造了迥然不同的数字系统，如巴比伦楔形数字、埃及象形数字、印度阿拉伯数字和中国的算筹数字。然而一般来说数字作为符号并不包含读音，读数字时所念出的还是和它对应的数词的读音。注意下面介绍的四种数的文字表记由于都伴随着词或字母本身的读音，因此它们应分类为数词而非数字。

（一）十进制数词

《吠陀》是印度从古至今所有文化的根本和源泉，在谈及数学的发展时也不例外。从最早成立的《梨俱吠陀》以及《夜柔吠陀》的诗偈中可以清楚地辨认出十进制数词，如《夜柔吠陀》的一支《鹧鸪氏本集》（Taittirīya-Saṃhitā）的一段祭文里列出了100到10¹²的十进单位名称——śata（百）、sahasra（千）、ayuta（万）等。而表示1到10的数词依次为：eka（一）、dva（二）、tri（三）、catur（四）、pañca（五）、ṣaṣ（六）、sapta（七）、aṣṭa（八）、nava（九）和daśa（十）。至于零，则是以kha或śūnya表示，均意为“空”。

古印度人在用数词表示任意数时通常使用“加法原理”，如13（trayodaśa）便是10（daśa）加3（trayas，tri的复数形）。而在需要考虑韵律的情况下也可采用减法、取倍或是取半。这种用数词来表示数量的方法是印度包括数学在内的梵语文献中最基本、最常用的记数法。

（二） 阿耶波多式字母表记法

阿耶波多诞生于公元476年，这是印度的笈多王朝开始从繁荣步入衰败的时期。阿耶波多从事学术活动的地方就是笈多王朝的首都华氏城（Pāṭaliputra），即今日比哈尔邦（Bihar）的巴特那（Patna）近郊，那里除印度教文化外，佛教和耆那教的说法传道也很活跃。其著作《阿耶波多历算书》采用诗形体编写，分4章121偈：“十偈诗”13偈，给出了该书所采用的天文学常数及半弦表；数学章33偈，包含了各种算术、几何、级数及“库塔卡”等一般数学问题；时间计算章25偈，讲解时间单位，计算日月行星位置；天球章50偈，教导用天球模型解决各种天文问题。现存最早的《阿耶波多历算书》的注释书是7世纪初婆什迦罗一世所著的《阿耶波多历算书注释》，该书不仅忠实详尽地解释了阿耶波多那些深奥又过于简洁的诗偈的含义，还极大地推动了阿耶波多学说的发展。

为了能够精确计算出日月行星的位置，《阿耶波多历算书》中所使用的天文学常数都非常巨大，如一个会合周期“纪”（yuga）中太阳的周天数为4320000，地球自转圈数则是1582237500。另一方面，也许是为了方便记忆，《阿耶波多历算书》讲述常数的第一章是用一种被称为“偈谛”（gītikā）的韵律诗写成的。其大致特点为：整首诗分前半、后半各30拍，共60拍，此外在诗的某些位置还有特殊的拍数要求。若用一般的数词来表示所需的天文学常数，编成的诗偈数目不但庞大，而且那些数词往往也无法恰好合乎偈谛所要求的韵律。因此，阿耶波多在其著作一开始（第1章第2偈）先引入了以下这个特别的数的字母表记法：

vargākṣarāṇi varge ’varge ’vargākṣarāṇi kāt ṅmau yaḥ |

khadvinavake svarā nava varge ’varge navāntyavarge vā ||

方阵字（varga）构成方阵位，非方阵字（avarga）构成非方阵位。［方阵字］从ka开始，ṅa和ma相当于ya。九个元音［使用于］空的十八个方阵和非方阵位中，或者［适当改变后用在］大于九个的方阵［和非方阵］位中。

要理解此处的“方阵字”或是“九个元音”指的是什么，就需要先对梵语语法有所了解。事实上，从这里和《阿耶波多历算书注释》中容易看出，虽然身为天文学家和数学家，无论是阿耶波多本人或是其追随者婆什迦罗一世都熟知帕尼尼（Pāṇini，约公元前500年）所开创的梵语语法理论。方阵字（varga）这个词的本义是“群”（group/class），不过在语法书中它是用来指梵语中从k到m这25个辅音，它们可以构成一个5×5的方阵。与此相关，到后来“varga”这个词就含有数学的“平方”（square）的意思了。同时，所谓“非方阵字”就是指方阵字以外的那些辅音，即从y到h的这8个辅音。而所谓“九个元音”，就是在帕尼尼语法《八章书》（Aṣṭādhyāyī）中一开始所规定的“a、i、u、ṛ、ḷ、e、o、ai、au”无论长短的这9个元音。

接下来，若将从k到m的25个辅音与数1～25作一一对应，则有ṅ=5， m=25。因此，由“ṅ和m相当于y”可知y=ṅ+m=5+25=30，并且非方阵字所表示的数是十十增加的。然而，光有辅音是无法构成可发声的音素的，阿耶波多于是说“九个元音［使用于］空的十八个方阵和非方阵位中”，即依次赋予这9个元音以从1开始的10的偶数次幂的值。由此我们可以得到如表1所示的《阿耶波多历算书》中所使用的梵文字母与数的对应表，并且发现这套表示法所采用的其实是百进制。根据多项式原理，所要表示的数（N）可以写成：

N=a×10²ⁿ+b×10^2(n-1)+…+m×10²+n×10⁰

=V_(a)S+…+V_(m)i+V_(n)a

这里，元音S（a， i， u,…）表示10的偶次方乘幂，方阵辅音或非方阵辅音V（a， b,…， m， n）则是其的系数，VS合在一起构成了一个音素，可供发音。并且，由于方阵辅音和非方阵辅音表示的数值有重合的地方，这样就增加了表记时的自由度。

反过来，若要读出某个字母表记法的数词，则首先根据元音将词分解成基本的音素VS，再计算出各个音素所表示的值，最后将所有值加到一起。举例来说，前述一个纪中太阳的周天数阿耶波多表示为“khyughṛ”，仅含两个音素“khyu”和“ghṛ”。“khyu”中元音为u=10⁴，辅音为khy=kh+y=2+30=32。所以音素“khyu”表示的数就是32×10⁴=320000。同理，“ghṛ”为4×10⁶=4000000。两者相加就得4320000。有时，由于韵律韵脚的制约，会遇到短元音取作为长音（ā， ī， ū， ṝ），或几个音素含有相同元音的情形，但读取方法还是一样。各音素的前后顺序也很自由，无须按照乘幂降序或升序排列。比如阿耶波多将一纪的地球自转数记为“ṅiśibuṇḷṣkhṛ”：

ṅiśibuṇḷṣkhṛ = ṅi + śi + bu + ṇḷ + ṣkhṛ 

=5×10²+70×10²+23×10⁴+15×10⁸+(80+2)×10⁶

=1582237500

像这样，阿耶波多仅仅使用了5个音素就表达出了一个10位数的大数。后来婆什迦罗一世在注释“ṅiśibuṇḷṣkhṛ”这个数时换了一种表记法（即下文的“具象数词”），结果出现用到14个音素的数词“khāmbareṣvadrirāmāśviyamāṣṭatithayaḥ”。一般来说，阿耶波多可以将其他天文学家需要用五六偈诗来表达的数浓缩在短短的1偈诗里。

尽管阿耶波多字母表记法可以简短随意地表示任意的大数，奇怪的是《阿耶波多历算书》之后的任何印度天文学数学文献里却再也没有使用过这个方法。究其原因，我们猜测也许是这种表记所造出的许多音素往往并不符合或适宜人的发声规律，如上述“ṅi”“ṣkhṛ”等的音素在一般的梵语言中并不存在，并且也很难发声。如此一来使得这些数词只是形式上简洁却非常不符合“口耳相传”的印度式教育传统。不过，后面将要介绍的“Ka-Ṭa-Pa-Ya”式字母表记法在某种程度上承袭了阿耶波多的“字母数”的对应思想，但同时又注重了发音和意义上的考虑，使得用它编纂出的数表文献在保持篇幅简洁的同时还具备了文学的审美价值。

（三）具象数词

上文已经看到了一个具象数词的实例，即婆什迦罗一世给出的一纪中的地球自转数“khāmbareṣvadrirāmāśviyamāṣṭatithayaḥ”。它由下列梵语单词组合而成，这些单词本身意味某种事物，因而能使人联想到与那种事物相关的一个数量：空（kha=0）、天空（ambara=0）、箭（iṣu=5）、山（adri=7）、罗摩（rāma=3）、双马童（aśvin=2）、耶摩（yama=2）、八（aṣṭa=8）、太阴日（tithi=15）。将这些数从后往前读，就得到1582237500。因此“具象数词”（bhūtasaṃkhyā）名称的由来就是指某种事物的“形象”（bhūta）和抽象的“数量”（saṃkhyā）间存在着对应关系，其基础可以看作是一种朴素的集合观念。这里所说的事物可以是指自然界的事物，如“月亮”（indu=1）或是“牙齿”（rada=32），也可以是人们约定俗称的一些观念，如“吠陀”（veda=4，因为共有四种《吠陀》）或是“方角”（diś=10，四个正方位、四个中间方位以及上下），更可以是某个宗教哲学神话中的特殊概念。于是，针对同一个数就会有各种不同的具象数词的表记方式，因为从那些事物都能联想到同一个数字。比如，数“2”的具象数词可以是“手”（kara）、“眼睛”（akṣi）、“耳朵”（karṇa）这样成对的身体器官，也可以是“至点”（ayana，即冬夏两至）或是“耶摩”这样自然或文化上的概念。同时，即使表示“眼睛”这个意思，梵语里也有诸如“akṣi”“cakṣu”“nayna”“locana”等若干种说法。正因如此，具象数词表记时候自由随意，非常方便人们将数字嵌入有特定格律要求的诗里面。反过来，除了某些极个别的词语，用于具象数词的形象都只对应唯一的数。

最早使用具象数词的实例可以在6世纪天文学著作《五大体系汇编》（Pañcasiddhāntikā）中找到。具象数词和数词一起此后不仅是印度天文学数学文献中主流的数表记法，同时它还在哲学、音乐、韵律学等与数学有关的文献中得到使用。甚至在印度文明影响甚大的印尼爪哇岛的7世纪的碑文中也有使用。下面列举一些常用到的具象数词，它们来源于一些在印度耳熟能详的宗教神话故事。

0，空（kha）：这个词最早见于《吠陀》，指战车轮子中间留有的用于插入车轴的空洞，后来它就有了“空虚”“空位”的含义，被用来表示0。

1，单位（rūpa）：本意“形状”“样式”等，在玄奘《般若波罗蜜多心经》中译为“色”。在数学文献中它一般指单位1。在婆罗摩笈多的代数学里，rūpa指代方程中的常数项。

2，耶摩（yama）：他是《吠陀》中出现的第一个人。他有一个双胞胎妹妹叫Yamī，他们结合后诞生出了人类。因此用来表示2。耶摩同时又是第一个死去的人，因此他也掌管阴间，成为后来的阎魔王。

3，火/祭火（agni）：这个词本意是火，或是神格化的圣火阿耆尼。按照《吠陀》的规定，家长期的婆罗门必须每天在家庭中实行祭火仪式。仪式使用的祭火坛一共有三个，因此agni就有了3的含义。另外，婆罗门死后施行火葬，所用之火就是取自其的火祭坛，意为最终通过祭火与神合一。

4，完美（kṛta）：印度著名的英雄史诗《摩诃婆罗多》（Mahābhārata）里记载了一种用骰子玩的赌博游戏。根据骰子点数构成的4的剩余类，输赢分为以下四种情形：骰子点数除以4后余1，为最差的情形，称为“Kali”；骰子点数除以4后余2时称“Dvāpara”，好过“Kali”；点数除以4后余3时称“Tretā”，好过前两者；骰子点数能被4整除，则是最好或完美，称为“Kṛta”。因此，人们后来便用kṛta来指代4。同时，在印度天文学里，Kṛta等四个词也是纪（yuga）下面的单位——四分纪（yugapāda）的名称，目前我们正处在最坏的Kali四分纪中，佛典里翻译成“末世时”。

5，箭（iṣu）：印度神话中的爱神伽摩（Kāma）的武器是弓箭，其中弓是用甘蔗制作而成，弓弦是一排嗡嗡的蜜蜂。箭有五支，箭头分别是五种鲜花，被伽摩的箭射中之人会在心中燃起爱欲之火，因而伽摩的箭就被用来指代5。另有人认为伽摩这个神格的出现可能与古希腊罗马的爱神丘比特有关。

6，季节（ṛtu）：印度古代文献中对季节的划分并不一致，有3、5、6、7、12、13和24这几种划分。但是按照《竖底沙论》的说法，一年共有6个季节，分别为春季（vasanta）、热季（grīṣma）、雨季（varṣās）、秋季（śarad）、冬季（hemanta）和寒季（śiśira）。因此在天文学和数学文献中ṛtu被用来指代6。

7，山（adri）：adri、naga、aga等词都意为“不动”，即山的意思。这里的山可能指印度神话传说中的七座灵峰，也可能是指印度教宇宙学中所讲的围绕中央须弥山（Sumeru）的七重金山。

8，随颂律（anuṣṭubh）：随颂律是梵语中古老而又常用的一个韵律。其特点是一偈诗分为4小节，每节都有8个音节，于是完整的一偈诗包含32个音节。因此anuṣṭubh就被用来表示8。另外，由于这里的32个音节都可轻可重，印度数学书中讲解排列组合问题时就常以计算随颂律所有可能的节拍变化为例题。

9，数字（aṅka）：数字（数码）可以用作一个具象数词，表示9。因为1～9有特殊的符号表示，而0往往只是一个圆点，因此两者似乎在印度人眼里还是有些差别。当然也有人不把“0”与其他九数区分，如9世纪耆那教数学家马哈维拉，在其《算术集粹》的“数的定义”（saṅkhyāsaṃjñā）里就把0也视为一数，只不过在说明时是按照1，2，…，9，0这样的顺序排列。

（四） Ka-Ṭa-Pa-Ya式字母表记法

与阿耶波多的方法相类似，Ka-Ṭa-Pa-Ya式字母表记法（kaṭapayādi）也是用发音时的最小单位音素来对应数量。然而不同于阿耶波多将梵语字母表中的全部元音辅音赋予不同的数值，它只取以k、ṭ、p、y为首的4组辅音，分别赋予其1～9和0的值，对元音则不予赋值（单词开头的元音为0）。如此我们得到一张如表2的辅音与数的对应表。从表2中可以看出，由于表示同一数量的字母有多个，因而这种表记法也有非常大的自由度。

Ka-Ṭa-Pa-Ya式字母表记法可能发源于印度西南部的喀拉拉（Kerala）地区，并被认为是语法学家Vararuci（约公元5世纪之前）的贡献。现存最早使用了这种表记法的著作是公元683年Haridatta所著的《行星运动集》（Grahacāraṇabandhana），下面借用其中一例说明它具体是如何表示数的：

dhījagannūpura

=dhī（理性）+jagan（世界）+nūpura（足饰）

=dhī（9）+ja（8）+ga（3）+nnū（0）+pu（1）+ra（2）

注意当有两个辅音相连时（nn），只取最后一个辅音（n）所表示的数值。和阿耶波多表记法最后取和的方法不同，它同具象数词一样，需要把抽出的数从后往前读取，最终得到210389这个数。

由于表记出来的词所包含音素的个数直接就是所要表示的那个数的位数，我们甚至可以把Ka-Ṭa-Pa-Ya表记当作一种十进位值制的数码来理解。另有一则取自喀拉拉诗人Nārāyaṇa著作中的例证，Nārāyaṇa用此表记法记录了其完成作品时的Kali纪经过的天数：

āyurārogyasaukhyam

=āyur（长寿）+ārogya（健康）+saukhyam（快乐）

=ā（0）+yu（1）+rā（2）+ro（2）+gya（1）+sau（7）+khyam（1）

=1712210

相比Haridatta的用例，这个例子更能体现出使用Ka-Ṭa-Pa-Ya表记法所能达到的那种记数简洁和诗文优美的统一。事实上，作者在创作中通过巧妙地选择辞藻使读者从同一句话中解读出不同的含义，这在梵语文学作品中是十分常见的，相关的修辞手法被称为“yamaka”（二重诗，耶摩的诗）。在一般看来枯燥无味的数学文献中也使用了类似yamaka的技巧，这更加体现了在印度数学与文学之间存在的和谐关系。

三、 总结

印度古代数学和中国古代数学一样，都是以机械化、算法化为特征，同以公理演绎为模式的希腊（西方）数学传统一道，共同促进了世界数学的发展。这里对印度记数法的了解是我们今后深入梵语数学文献研究的第一步。

印度的数词与印度文明最古老的宗教典籍《吠陀》（公元前1500年左右）同时产生，并且在一开始就已经是相当完善的十进制体系。作为吠陀辅助学的《竖底沙论》和《绳法经》在讲解祭祀规则的同时也包含了大量的数学知识，但其对于数的表记仅有数词这一种方法。此后则是持续了一千年左右的印度数学文献的真空期。笈多王朝（公元5世纪前后）时印度出现了一次文化的繁荣，这时期诞生了印度的诗圣——《沙恭达罗》（Śākuntala）、《云使》（Meghadūta）的作者迦梨陀娑（Kālidāsa），以及印度数理天文学的开创者、《阿耶波多历算书》的作者阿耶波多这两位文艺和科学的代表。梵语文艺学知识（包含语法、格律、修辞等）可能就是在这一时期影响到了数学写作。为了追求诗偈的工整精炼，阿耶波多发明了一套基于字母数对应思想的数表记法，并成功用它将许多天文大数编写进了短短几偈的诗句中。然而，阿耶波多方法表示出的数词发音困难不适宜吟诵，之后发展出的Ka-Ṭa-Pa-Ya式字母表记法则克服了这个缺点。该方法表记的数词兼具自由、简洁、优美又富有意义等优点，适合于编制原本枯燥的数表类文献。另一方面，6世纪后还发展出了具象数词这种用梵语单词来表示数的方法。与字母数对应思想不同，其之所以能成立是因为以朴素的集合观念为基础，并以庞大丰富的印度宗教哲学词汇为依托。由于具象数词较字母表示法对数的表现更加直观，在表达时也有非常大的自由度，即便稍许冗长，它最终还是成为除数词外印度数学文献中最为常用的数表记法。不仅如此，具象数词还伴随印度历法在11世纪初传入西藏地区，《时轮历》等藏文历算文献中也可以找到与我们此前介绍的几个常用的具象数词相同的用法和用例。

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原文《印度文字记数法及其文化背景探析》刊于《上海交通大学学报（哲学社会科学版）》2024年第6期（第110-119页）。若下载原文请点击：https://kns.cnki.net/kcms2/article/abstract?v=pVWNQl4Rae-pH5rY6Z_yJdHmemv4nvErPmYdaVY26cxRJo2HOv4sYBnqTiGHCUlS4cxQnlUYsTMfBOq-Madl0NCqmZlsX_s0jM3Jy9_n17P2akw43VmURA==&uniplatform=NZKPT

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编辑：黄艺聪

审校：孙启艳