写在前面：八月里程碑！粉丝突破63000！
我们打算利用7月和8月把最后一章——曲面的内容更新完成！主要还是简单地补充一下原文中的一些不那么详细的地方以及修改部分笔误 . 本文是代数几何中的曲面专题的第十三篇 , 主要内容是曲面的双有理变换(上) ，原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 , 更多精彩内容请关注：
曲面的双有理变换(上)
到目前为止 , 我们已经在之前的代数几何中的曲面专题系列文章中处理了单个曲面或一个曲面及其独异变换 , 现在开始要证明非异射影曲面之间的任意双有理变换实际上可以分解为独异变换以及它的逆变换的有限序列 , 这意味着在研究曲面时独异变换处于中心地位 , 而这个结果的推论是曲面的算术亏格是双有理不变量 .
事实上在讨论曲面的双有理变换时 , 我们还会证明关于收缩第一类例外曲线的 Castelnuovo 判别法并推出曲面的相对极小模型的存在性 , 这方面内容可以参考 Shafarevich 的专著《Algebraic Surfaces》中的第一章和第二章 , 以及 Zariski 的专著《Introduction to the Problem of Minimal Models in the Theory of Algebraic Surfaces》和《Algebraic Surfaces》的第四章 .
本文我们主要回忆有关任意维数的代数簇之间的双有理映射的一般性质 , 包括 Zariski 主定理 .
设 和 为任意维数的射影代数簇 , 根据《Hartshorne 的代数几何专题中的代数簇(第四篇)——有理映射和双有理等价》中的推论5可知 , 给出从 到 的一个双有理变换 等价于给出一个开子集 和一个态射 , 它诱导出函数域之间的同构 . 如果存在另一个表示 的开集 和态射 , 那么 和 在它们的公共定义的点处相等 , 于是可以将它们粘合起来得到定义在 上的态射 , 进而存在一个最大的开集 使得 在 上的态射用 来表示 , 此时称 在 中的点处有定义以及称 中的点为 的基本点 . 现在令 为双有理变换 , 且它可以由 来表示 , 接下来设 为 的图(graph) , 而 的闭包 , 此时称 为 的图 , 对 的任意子集 , 我们定义 为 , 其中 和 分别为 到第一分量和第二分量的投射 , 则称 为 的总的变形 , 如果 在点 处有定义 , 那么 , 但当 是 的基本点时 , 一般是由多于一个点构成的集合 .
引理1：设 是射影代数簇之间的双有理变换 , 以及 为正规射影簇 , 则 的基本点构成一个余维数大于等于 的闭子集 .
证明：设 是余维数为 的点 , 则 是赋值环 , 由于 在 的广点处有定义 , 故 是射影代数簇 , 从而 是本征代数簇 , 根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第四篇：可分离态射和本征态射》中的定理7——本征性的赋值判别准则可知 , 在点 处也有定义 , 因此 的基本点构成一个余维数大于等于 的闭子集事实上我们已经在《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十六篇：微分(下)——微分形式模与微分形式层的应用》中的定理19的证明过程中已经使用这种方法证明几何亏格为双有理不变量 .
下面我们来看一个例子 .
例1：设 是一曲面 , 且 是以点 为中心的独异变换 , 则 处处有定义 , 而它的逆变换 是以点 为基本点的双有理变换 .
定理2( Zariski 主定理)：设 是射影代数簇之间的双有理变换 , 其中 为正规射影簇 , 如果 为 的一个基本点 , 那么总的变形 是连通簇且维数大于等于 .
证明：上面的定理其实是《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第十四篇：形式函数定理》中的推论4的另一种表述形式 . 令 为 的图 , 并考虑到第一分量的投射 , 它是双有理射影态射 , 故根据《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第十四篇：形式函数定理》中的推论4可知 , 为连通簇 , 如果它的维数等于 , 那么在点 的一个邻域 内 , 在每个点处的逆像的维数均为 , 此时 是一个具有有限纤维的双有理射影态射 , 进而它是有限态射 , 但 是正规簇 , 所以必为同构 , 这就表明 在点 处有定义 , 显然矛盾了 , 从而只能有 为连通簇且维数大于等于 , 由于 将集合 同构地映到 上 , 故我们便得到想要的结果 .
接下来证明一个关键性的结果 , 使得我们能够分解曲面的双有理变换 .
命题3：设 是非异射影曲面之间的双有理态射 , 为 的一个基本点 , 则 经过以点 为中心的独异变换 进行分解 .
证明：设 是由 定义的从 到 的双有理变换 , 我们的目的是证明 为态射 , 如若不然 , 则它有一个基本闭点 , 显然有 , 根据定理2—— Zariski 主定理可知 , 在 中且维数大于等于 , 此时 一定是 的例外曲线 . 另一方面根据引理1可知 , 除了 的有限个点外 几乎处处有定义 , 故存在一个闭点 使得 在点 处有定义 , 于是 , 因此我们需要证明由此可以导出矛盾 .
选取点 在曲面 上的局部坐标 , 则类似于《代数几何中的曲面专题(第八篇)：独异变换(上)》中命题6的证明过程那样 , 存在一个点 的开邻域 使得 由 中的方程 所定义 , 一旦经过对变量 对变量 的线性变换 , 就可以假定点 在例外曲线 中是点 , 于是 是点 在 的局部坐标 , 此时 的局部方程为 和 . 由于 是 的一个基本点 , 故根据定理2就可以得到 为连通曲面且维数大于等于 , 进而在 中就有了一条不可约曲线 , 其中 包含了点 , 此时设 为 在点 处的局部方程 , 又由于 由方程 所定义 , 故 在 中的像属于由 生成的理想 , 那么可以记作 和 , 其中 , 另一方面 支配 , 即我们将 , 和 分别视为 , 和 的公共函数域 的子环 , 注意到 为点 处的局部坐标且 , 这意味着在 在有 , 从而有 是 的单位以及 就出现在局部环 中 , 因为 , 所以必有 . 现在我们利用 , 它表明对任意的 , 它在 中的像必然包含在由 生成的理想中 , 毕竟 是例外曲线 的局部方程 , 特别地取 时则有 , 这和 是点 的局部坐标矛盾 , 因此命题得证 .
推论4：设 是非异射影曲面之间的双有理态射 , 令 是使得 为一个点的不可约曲线 的条数 , 则 为一个有限数且 正合可以分解为 个独异变换的复合 .
证明：如果 是点 , 那么 是 的一个基本点 , 根据引理1可知 , 的基本点构成有限点集 , 且每一点的逆像 是 的闭子集 , 它只有有限个不可约分支 , 故 将曲线 映为一个点的集合为有限集 . 现在设 是 的一个基本点 , 则根据命题3可知 , 可以经过以点 为中心的独异变换 进行分解 , 即 , 其中 为某一态射 , 下面我们要证明 , 事实上如果 是一个点 , 那么 必定为一个点 , 反之如果 是一个点 , 那么 是一个点或 是 的例外曲线 , 另一方面由于 除去有限个点后为一态射 , 故存在一条唯一的不可约曲线 使得 , 从而有 . 如此进行下去 , 在经过 个独异变换进行分解后就得到了一个态射使得 , 但根据定理2—— Zariski 主定理可知 , 这样的态射无基点 , 进而是一个同构 , 因此 被分解为 个独异变换 .
我们来对命题3和推论4作一些说明 . 首先比较一下命题3中的利用独异变换进行分解与《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十四篇：射影态射(5)——理想层上的胀开以及胀开的一些性质》中的命题14中已经证明的胀开的泛性质 , 我们可以发现尽管在从一点处胀开的特殊情形下 , 新的结果包含了以前的结果 , 毕竟 是一个可逆层就意味着 具有维数 即 是基本点 , 但实际上命题3更强 , 这是因为在证明过程中使用了定理2—— Zariski 主定理 , 但 是可逆层这样的假设在从一点处胀开的特殊情形不一定能保证 , 故我们无法根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十四篇：射影态射(5)——理想层上的胀开以及胀开的一些性质》中的命题14推出命题3 . 接下来我们将推论4与《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十四篇：射影态射(5)——理想层上的胀开以及胀开的一些性质》中的定理17进行比较 , 可以发现新的结果更加精细 , 它利用了比较特殊的独异变换而不是在一般情形下胀开理想层 . 然后我们还可以发现对于维数大于等于 的非异射影簇的情形下命题3不成立 , 即设 是 维非异射影簇 对一条非异曲线 的胀开 , 则任意点 都是 的基本点 , 但由于 的维数为 而 的维数为 , 故 不能经过以点 为中心的独异变换 进行分解 , 进而这样的结果可以启发我们修正上述问题 , 当给出一个非异射影簇之间的双有理映射 , 我们能否将 分解为有限个逐次对非异簇的独异变换 , 在维数大于等于 的情形下答案也是不正确的 , 详细内容可以参考 Sally 的文章《Regular overrings of regular local rings》和 Shannon 的文章《Monodial transforms of regular local rings》 .
定理5(分解定理)：设 为非异射影曲面之间的双有理变换 , 则可以将 分解为独异变换及其逆变换的有限序列 .
证明：根据推论4可知 , 我们只要证明存在一个曲面 以及双有理态射 和 使得 , 而证明的关键在于构造 .
第一步令 是 上的一个极丰沛除子 , 是线性系 中的一条非异曲线且不经过 的任意一个基本点 , 换句话说 完全包含在使得 可以由态射 表示的最大开集 中 . 再令 是 在 中的像 , 我们定义整数 , 由于存在一个从 到 的有限双有理态射 , 故 , 而 当且仅当 同构于 , 值得一提的是 , 如果 变换为它的线性等价曲线 且也不经过 的基本点 , 那么 线性等价于 , 事实上对于 上的某些有理函数 , 我们有 , 则可以推出 , 又由于曲线的亏格 仅仅依赖于它在曲面 上的线性等价类 , 故我们得到整数 仅仅依赖于 和 , 与特别选取的曲线 无关 .
第二步暂且固定 , 如果 , 那么 必定为奇异曲线 , 设 为 上的一个奇点 , 是以点 为中心的独异变换 , 其中 为 的严格变形 , 于是根据《代数几何中的曲面专题(第八篇)：独异变换(上)》中的推论7可知 , , 进而如果 , 那么 . 然后按照这样的方式继续进行下去 , 类似于《代数几何中的曲面专题(第九篇)：独异变换(下)》中的命题8的证明过程那样 , 我们使用有限个逐次独异变换后得到一个态射 使得当 时有 .
第三步我们来证明 实际上是一个态射 , 如若不然 就为基本点 , 根据定理2—— Zariski 主定理可知 , 包含一条不可约曲线 , 由于 为 上的极丰沛除子且满足 , 故 对任意的 成立 . 现在根据《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》中的引理2可知 , 选取 使得它不包含 的任意一个基本点且 与 横截相交 , 此时 和 至少有两个不同的交点 , 于是对应的 中的曲线 至少在点 处是一个二重点 , 这与 矛盾 , 因此 是一个从 到 的态射 , 这就完成了证明 .
推论6：非异射影曲面的算术亏格 是一个双有理不变量 .
证明：事实上根据《代数几何中的曲面专题(第八篇)：独异变换(上)》中的推论5可知 , 在独异变换下保持不变 , 故直接由定理5推出结论 .
最后我们来对定理5和推论6作一些说明 . 尽管类似于命题3和推论4的一些补充说明中那样的形式的分解定理在维数大于等于 时不成立 , Hironaka 还是能从下面的断言中推出非异射影簇的算术亏格是个双有理不变量 , 事实上这个断言对于特征为 的域上的代数簇是成立的 , 也是他的奇点消解定理的推论 . 即如果 是特征为 的域上的非异射影代数簇的双有理变换 , 那么存在一个态射 是由有限个逐次对非异射影子簇的独异变换后得到 , 这使得双有理映射 是一个态射 , 而对于 上的代数簇 , 算术亏格的双有理不变性是由 Kodaira 和 Spencer 给出的 , 他们利用了 Hodge 理论在的等式 以及 的双有理不变性 . 这里我们要稍微补充一下关于整数 的相关定义和性质 , 令 是域 上的非异射影簇 , 对任意的 我们定义第 个复合亏格 , 特别地 , 而对于任意的 满足 , 继续定义整数 , 其中 是 上的正则 -形式的层 , 特别地当 时就可以再次得到几何亏格 , 此时称整数 为 Hodge 数 , 事实上 和 是 的双有理不变量 , 即如果 和 是双有理等价的非异射影代数簇 , 那么 和 , 详细内容可以参考 Kodaira 和 Spencer 的文章《On arithmetic genera of algebraic varieties》 .
参考文献和推荐阅读：
Robin Hartshorne . Algebraic Geometry . Graduate Texts in Mathemarics . Springer . Vol . 52 .
您的点赞与关注是我们坚持不懈的动力 (点开名片进行关注）：
由于微信平台算法改版，公号内容将不再以时间排序展示，如果您想第一时间看到我的推送，强烈建议星标我的公众号。星标具体步骤为：在公众号主页点击右上角的小点点，在弹出页面点击“设为星标”，就可以啦。感谢您的支持！
