抽象代数中的环论（第二篇）：代数结构研究中的一个基本方法论——商结构以及同态/同构定理

引言:

 在上一篇文章中我们已经定义了环的理想, 正如正规子群诱导出群上的一个等价关系(称作同余)一样, 环的理想也诱导出环上的一个等价关系(同样称其为同余), 基于这个同余关系我们可以定义商环, 进而给出类似于群的同态基本定理那样的结论, 当然, 我们首先需要定义环的同构和同态, 然后介绍环的同态基本定理. 最后我们用同态为桥梁构造环的一个扩张, 将一个小的环扩张为一个大的环.

1. 商环

 设是一个群, 是它的正规子群, 即, 对于这个正规子群, 我们考虑它的左陪集, 根据陪集定理, 任意两个左陪集要么完全相同, 要么完全不同, 因此陪集给出对群的一个划分, 而这个划分自然诱导出上的一个等价关系: , 这个等价关系给出的商集

上通过定义

则就构成一个群, 这就是群论中我们知道的商群. 这个定义之所以能够成立, 原因在于如果, 则有

这个的证明也是容易的, 因为, 因此对于任意存在使得, 于是

同理, 对任意存在使得

因此

考虑到是正规子群, 对任意的都是成立的, 我们最终一定可以找到使得, 从而

注意到, 因此对于任意的, 我们找到了使得, 于是. 类似的方式, 我们可以证明, 这就证明了. 现在让我们回忆同余关系: (注意, 和模同余意味着和除以的余数相同, 因此一定被整除, 换言之, 这也是同余关系的定义)满足的特性:

(1) 且, 则. 这是因为我们同时有和, 从而, 进而, 这就表明和模同余.

(2) 如果满足(1)中的同余关系, 则, 因为, , 进而, 这表明和模同余.

 上面的特性给出上一节中我们多次用到的上满足的和. 我们把这种特性总结为等价类间的运算归结于代表元间的运算. 如果一个等价关系具有这样的特性, 我们就将该等价关系称作一种同余关系, 同余关系是相对于运算而言的.

定义1.1(同余关系与商结构):  设是集合上的等价关系, 集合上带有运算, 如果商集中的元素(即等价类)满足且则有, 则称等价关系关于运算构成同余关系, 其中表示的等价类.  这时定义上的运算

则和具有相同的代数结构, 称其为关于同余关系的商结构.

例1.1.1: 根据之前的论述, 通过正规子群诱导的等价关系关于群乘法构成同余关系, 因此商集具有群结构, 群乘法被定义为, 这就是商群.

例1.1.2: 假定是线性空间的线性子空间, 定义上的等价关系, 线性空间上带有两种运算: 加法和数乘, 它们可以统一为线性运算, 为此我们定义

可以证明, 这里的等价关系关于线性运算构成同余关系, 换言之, 如果, 则, 这个同余关系意味着商集具有线性结构, 构成线性空间, 称作对的商(线性)空间. 这是线性代数中我们熟悉的结论.

 现在我们把视线放回到环上, 我们知道环理想是群正规子群的对应物, 假定是环的理想, 则, 于是我们自然而然给出一个等价;关系:

我们已经知道是群上的同余关系, 那它是否能够强化为环上的同余关系呢? 换言之, 如果, , 则(1) ; (2) .

 显然(1)是成立的, 因为这个运算本身是定义在上的, 根据前面的论述它是自然成立的. 现在我们只需要证明对环乘法也构成同余关系即可. 这个证明也不难, 因为, 仿照群中的结论, 我们知道存在使得, 于是

因为, 于是对任意的和, 均有, 换言之, 对于上面的和我们可以找到使得, 然后根据对乘法的封闭性得知存在使得, 最后我们找到了使得

由于, 因此, 进而

这就证明对环乘法也构成同余关系. 换言之, 对环加法和环乘法都构成同余关系, 于是

定义1.2(商环): 环上对环乘法和环加法的同余关系诱导出的商结构被称作商环.

例1.2.1: 上定义等价关系: , 这就是上的同余关系, 也是我们定义一般意义上同余关系的思考原点. 因此, 商集构成环, 这就是剩余类环.

例1.2.2: 将复数单位添加到中得到, 这是复数域的子集, 借助复数的加法和乘法法则可知构成一个交换幺环, 称为Gauss整数环. 令, 则根据理想判定定理可知是Gauss整数环的理想. 我们对关于取带余除法, 即令, , 其中, . 那么中的任意元素均可写成

这个结果表明, 商环中的任意元素最终都可以表示成的形式, 这里, 并且只要不同, 给出的等价类就不同, 为了证明这一点, 假定, 则, 于是存在使得

由于只能是或者, 当它们不等的时候差值必然为奇数, 因此它们只能相等. 同理, 和必须相等. 因此有且仅有四个元素: .

注1.2.1: 显然, 如果是幺环, 则就是商环的幺元, 因此幺环的商环一定是幺环.

注1.2.2: 如果是交换环, 则, 于是, 这意味着交换环的商环一定是交换环.

注1.2.3: 如果是无零因子环, 则它的商环可能有零因子. 一个简单的例子就是, 这里是没有零因子的, 但是里都有零因子.

注1.2.4: 我们之后将商环中的元素在不混淆的情况下简单记作.

 可以看到, 在前面证明同余关系的时候, 我们预先假定是环的理想, 这是为了让我们自然地使用正规子群的性质, 那么这个是不是反过来也成立呢? 也就是如果是环上的同余关系, 则必须是环的理想? 答案是肯定的. 不过为了方便叙述起见, 我们对前面定义的关系做个改写, 因为意味着, 因此对任意存在使得, 进而, 反过来, 如果, 则必然能够找到使得, 结合环的封闭性, 对于任意, 我们有, 从而, 换言之, 于是, 类似方式可以证明, 这就证明了二者相等. 于是上面定义的等价关系可以更简单地写作.

定理1.3: 在环上定义等价关系, 则这个等价关系关于环运算成同余关系当且仅当是环的理想.

证: 充分性在前面的论述中已经给出. 现在证明必要性. 假定这个关系是同余关系, 我们来证明是环的理想. 换言之, 我们要证明, (1)对于任意的, 且(2)对任意和, .

(1) 因为是等价关系, 于是, 因此. 而意味着如果, 则必须有. 现在假定, 则必须同时有, 这意味着里面任意元素的逆也在它里面. 最后必须给出, 于是给出, 仿照定理1.3前面的论述, 可以证明对于任意的都必须有. 这表明对加法封闭且每个元素都有逆, 根据子群的判定定理, 是的子群, 因此对于任意, 都有.

(2) 因为, 于是, 又, 于是, 因为是同余关系, 因此, 进而, 也就是说.

综合(1)和(2), 命题得证.

 给定子环, 通过我们就可以合理地定义一个等价关系, 但是要让这个等价关系变成同余关系, 就必须对子环的性质进行限制, 能够刚好使得该等价关系变成同余关系的子环自然是最理想的那个子环, 这就是理想一词的由来(大概吧, 我猜的, 鬼知道当时命名的时候那个人咋想的).

2. 环的同态定理

 我们知道环里面有两个二元运算: 加法和乘法, 仿照群同态和群同构的定义, 我们立刻可以给出环的同态和同构定义:

定义2.1(环同态/同构):  两个环和之间如果存在映射满足对于任意的有和, 我们就称这两个环是同态的, 记作, 并称为它们之间的同态映射, 如果是单射, 则称其为单同态, 如果是满射, 则称其为满同态, 如果是双射, 则称其为同构, 并记作.

注2.1.1:  设同态, 是它们之间的一个同态映射, 这个叙述在本笔记中有时会简写为. 如果是单同态, 则简写为. 如果是满同态, 则简写为. 如果是同构, 则简写为.

注2.1.2: 若, 则我们称为这个同态的同态核.

注2.1.3: 设是环的理想, 对于任意一个, 我们总可以将其对应到商环中的元素上去, 也就是得到一个对应, 注意到商环的性质, 是到的一个满同态, 我们称其为到的自然同态. 不仅如此, 我们可以发现, 自然同态的同态核.

注2.1.4: 设是一个映射, , 则的像被定义为

于是的值域可以写成. 设, 则我们定义的原像集为

通过方括号和圆括号来区分像集和元素的像, 原像集和逆映射是我在梁灿彬老爷子的书里学到的, 这个约定还是很有用的.

注2.1.5: 按照习惯, 我们不去区分不同环上的加法和乘法, 加法通通用表示, 乘法通通略去运算符.

 重复一下群的同态基本定理的内容: 若, 则是的正规子群, 并且, 在群论中我们给出的同构映射为

因为是群同态, 对于任意, 就有

这里我们记.  现在假定是两个环, 并且, 则根据定义, 首先是保乘法的, 因此, 这时根据群同态基本定理我们就知道是的正规子群, 并且. 对应的同构映射为

我们已经知道是的正规子群了, 我们自然还期待它是环的理想, 为此我们还需要证明对于任意的和, 有. 为此我们只需要证明

即可, 因为的定义为. 而注意到是环上的同态映射, , 因此

同理. 这样一来我们就证明了下述结论:

命题2.2: 设为环同态, 则是环的理想.

 既然是环的理想, 我们自然可以去计算关于它的的商环, 我们已经知道(这里)在群的意义下是同构的, 换言之是保护加法的双射. 如果我们还能证明它保护乘法, 则根据定义我们就确定是环同构的同构映射. 注意到

我们立刻得到下面的重要结论:

定理2.3(环的同态基本定理): 设是环同态, 则.

注2.3.1: 按照前文的叙述, 我们引入的同构映射为

现在考虑自然同态, 它将映到, 而将映到, 考虑到本身就是将映到, 因此的作用和是一样的, 并且对于任意的, 有

这表明

因此环的同态基本定理也可以表述为若是环到环的满同态, 则存在同构使得上式成立. 尽管这似乎将表述复杂化了, 我们引入了一个莫名其妙的自然同态, 但是这样表述的同态定理可以借助范畴论的语言进行推广.

 上面的定理中要求是满射, 如果不是满射呢? 考虑到对于任意映射, , 无论怎样, 映射一定是满的. 但是为了应用环同态基本定理, 我们还必须说明下面这个结果:

命题2.4: 如果是环同态, 则也是一个环,

证: 注意到, 因此我们只需说明是的子环, 也就是说, 我们只需说明对于任意的, 我们有和. 这是容易的, 因为, 因此存在使得, , 而是个环, 于是, 进而, , 注意到是同态, 因此我们得到和, 这恰好就是我们要证明的东西. 

 有了命题2.4的支持, 我们就可以将定理2.3中满同态的要求给去掉了:

推论2.3.1(环同态基本定理的一般形式): 设是环同态, 则.

我们可以将同态基本定理进行推广, 不过在推广之前我们先给出环同态的重要性质:

定理2.5(环同态的性质): 设是环同态, 如果, , 则

(1) ;

(2) 若, 则;

(3) ;

(4) 若, 则.

证: (1) 要证明, 注意到只命题2.4给出的结论, 我们只需证明, 注意到, 因此. 接下来只需要证明对于任意的, 有以及. 这和之前证明的套路是一样的: 因为, 因此存在使得, , 因为, 因此. 由于是同态, 因此

这就证明了.

(2) 因为, 于是必然有, 进而, 要证明, 只需再证明对于任意的和, 我们有即可. 和(1)的套路也是一样的, 我们知道存在和使得, . 因为, 因此, 然后我们就有和.

(3) 同样的套路, 首先, 因此我们只需证明对于任意的, 有和即可. 根据定义, 我们有. 因为, 因此且, 于是根据定义我们知道, .