写在前面：本文我们来讨论简单一点的物理学 , 适合于高中学生和大学理工科专业的学生 . 更多精彩的内容请关注：
机械波之多普勒效应
观察者固定不动 , 如果波源靠近观察者 , 那么观察者会发现观测频率变大 , 如果波源远离观察者 , 那么观测频率变小 , 反之如果波源不动而观察者运动 , 又或者是波源和观察者都在运动 , 也会发生观测频率和波源频率不一致的现象 , 那么我们称这样的现象为 Doppler 效应 . 对于机械波而言 , 运动和静止是相对于介质的 , 下面我们分几种情况进行讨论 , 所提及的介质都是各向同性的均匀介质 .
1.波源静止观察者运动
先来分析在一点处静止的波源在各向同性均匀介质中的传播的情形 . 如上图所示 , 设 点为波源 , 各个同心圆表示波面 , 波面上任意一点与相邻的波面上各个点的相位差均为 , 此时两个相邻的同心圆的半径之差为波长 , 而波相对于介质的传播速度为 , 如果波源的振动频率为 , 那么波长 , 波速和频率三者之间满足关系式 . 同理可以知道观察者观测到的波速 与观测到的波长 之比为观测频率 , 即 , 其中 为单位长度上的波数 , 也可以表示单位时间内观测到的波数 .
显然当波源和观测者都相对于介质静止时有 , 但此时观察者相对于介质以速度 朝着波源 运动 , 在经典力学中我们不考虑相对论效应 , 这就意味着从不同的参考系测得同一个物体的长度是相同的 , 尽管观察者以速度 运动 , 但观察者测得的波长 仍然等于 , 不过此时他测得的波速应该为 ， 那么观测频率 应该为 , 结合 就得到了 . 如果观察者背离波源以速度 运动 , 那么观测到的波速为 , 于是观测频率 与波源频率 之间的关系为 .
根据上面讨论的结果可知 , 因此如果观察者朝向波源运动 , 那么上式取正号 , 此时观测频率高于波源频率 , 即由于观察者迎着波传来的方向运动 , 故使得单位时间内观测到的波数增加 , 反之如果观察者背离波源运动 , 那么上式取负号 , 此时观测频率低于波源频率 . 进而我们可以知道产生这种频率变化的效应是相对于观察者和相对于介质的波数不同导致的 .
2.波源运动观察者静止
我们仍然假定点波源在各向同性均匀介质中传播 . 如上图所示 , 先设 时波源在 点静止不动 , 波源在 和 时的振动状态在 时分别传至大实线圆以及虚线圆处 , 由于 和 两个时刻波源振动的相位差为 , 其中 为振动周期 , 故大实线圆以及虚线圆上各个点的相位差也是 , 且两圆半径之差等于波长 . 现在波源相对于介质以速度 朝观察者运动 , 时波源在 点 , 它的振动状态在 时仍传至大实线圆处 , 而在 时波源已运动至 点 , 此时波源的振动状态与它在 点时的相位差为 , 且在 时传至小的实线圆处 , 注意到 时大实线圆以及虚线圆上各个点的相位差为 , 对比一下可知大实线圆与小实线圆上各个点的相位差也为 , 于是我们可以看到如果波源不动 , 那么相位差为 的波面是同心圆 , 而波源运动时相位差为 的波面就已经不是同心圆了 , 这表明波源运动会使得介质中振动状态的分布与波源静止时相比发生变化 , 即波长发生了变化 , 由于 时小实线圆的半径为 , 故观察者观察到的波长 应为
但观察者相对于介质不动 , 所有观测到的波速 就是介质中的波速 , 即 , 于是观测频率为
反之如果波源背离观察者运动 , 那么同理我们就可以得到观测频率为 .
根据上面的讨论结果可知 , 就是波源相对于介质静止的观察者相向运动或反向运动时观察频率与波源频率的关系式 , 当波源朝向观察者运动时上式取负号 , 此时观测频率高于波源频率 , 反之当波源背离观察者运动时上式取正号 , 此时观测频率低于波源频率 . 因此我们可以看到之所以观测频率和波源频率不同是因为介质中的波长发生了变化 , 值得注意的是 , 我们的讨论仅限于波源的速度小于声速的情形 , 至于波源的速度大于声速的情形不再进一步展开 .
3.波源和观察者同时运动
根据前面两种情况的讨论 , 我们可以得到波源和观察者同时运动时的观测频率为 , 于是 Doppler 效应是由观察者相对于介质的速度和波源相对于介质的速度共同决定 , 如果观察者和波源相对于介质以相同的速度运动时 , 即它们相对静止 , 那么由上式可以得到 , 即不发生 Doppler 效应 .
上面我们所讨论的情形均为波源和观察者以及两者的速度均在同一直线上 , 如果它们不再同一直线上 , 那么如上图所示 , 分别用 和 表示波源速度和观察者速度与波源和观察者两者之间连线的夹角 , 此时观察频率为 , 其中 和 仍然分别表示波源频率和观测频率 . 当 时波源与观察者相向运动 , 当 时波源与观察者相背运动 , 这就回到了之前讨论的特殊情形 .
参考文献与推荐阅读：
[1]赵凯华 . 新概念物理教程 · 力学 . 高等教育出版社 .
[2]程守洙 . 普通物理学 . 高等教育出版社 .
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