本文源于公众号学知园学习中心 , 作者复流形 . 想要学习几何与分析的可以关注他：
泛函分析之 Runge 逼近定理
本文我们主要介绍 Runge 逼近定理 , 其证明需要利用 Hann-Banach 定理 , Riesz 表示定理和 Cauchy公式 .
定理1(Hahn-Banach定理): 设 是线性赋范空间 的子空间, 是 上的有界线性泛函 , 则 可以延拓为 上的有界线性泛函 , 满足 .
证明: 首先假设 是实的线性赋范空间 , 是 上实的有界线性泛函 , 如果 , 则 为其延拓 , 所以不失一般性 , 我们假定 .
取 , 令
以及 , 其中 是任意固定的实数 , 则 是 在 上的线性延拓 . 下面需要选取合适的 , 使得 , 即
用 代替上式中的 , 并在上式两边同除以 , 则上式为
即 , 其中
由此可知 , 这样的 要存在 , 当且仅当所有的闭区间有公共点 , 当且仅当 , 于是由
可得 成立 . 至此我们已经证明了 在 上有线性延拓 , 且 .
令 , 是 在 上的实线性延拓 , 且 . 定义 上的偏序如下
因为 , 所以 , 由 Hausdorff 极大性定理 , 存在极大的全序子集 .
令 , 则 是全序的 , 所以 是 的子空间 . 如果 , 则存在 , 使得 . 定义 , 其中 是 中的 , 由偏序的定义知 , 这样的 是确切定义的 , 易知 是 上的线性泛函 , 且 . 如果 是 的真子空间 , 则由前面的证明知 还可以进一步延拓 , 这与 的极大性矛盾 , 所以 .
如果 是复赋范线性空间 的子空间 上的复线性泛函 , 令 , 则 可以延拓为 上的实线性泛函 , 且 , 定义
则 是 的复的线性延拓 , 且 . 定理证毕 .
由 Hahn-Banach 定理 , 我们可以得到这样一个重要的结论 .
定理2: 设 是赋范线性空间 的线性子空间 , , 则 当且仅当 上不存在有界的线性泛函 , 使得 , 但 , 即 上在 上消失的有界线性泛函一定也在 处消失 .
证明: 若 , 是 上有界的线性泛函 , , 则由 的连续性得 .
反之 , 假定 , 则存在 , 使得 , 令 是由 和 生成的子空间 , 定义
因为
即
所以 是 上的线性泛函 , 而且 , , , 由 Hahn-Banach 定理 , 可以延拓到 上 , 矛盾 .
定理3(Riesz表示定理): 如果 是局部紧的 Hausdorff 空间 , 则 上每一个有界的线性泛函 可以用唯一的正则复 Borel 测度 表示为
而且 .
证明: 首先证明唯一性 . 设 是 上正则的复 Borel 测度 , 则 , , 由 Radon-Nikodym 定理 , 存在 Borel 函数 , , 使得 . 对 中的任意序列 , 有
因为 在 中稠密 , 所以可取序列 , 使得当 时 , 趋于零 , 于是 , 即 . 因为任意两个正则的复 Borel 测度的差仍是正则的复 Borel 测度 , 所以我们证明了对每个 , 至多只有一个 与其对应 , 唯一性得证 .
下面证明存在性 . 设 是 上的有界线性泛函 , 不失一般性 , 不妨设 , 我们可以构造 上的正线性泛函 , 使得
其中 为上确界范数 . 一旦我们有了 , 就可以得到正的 Borel 测度 , 且当 时 , 是正则的 , 实际上由 和
得 .
最后由 Hahn-Banach 定理 , Riesz 表示定理和 Cauchy 公式 , 我们可以证明下面的 Runge 逼近定理 .
定理4(Runge 逼近定理)： 设 是紧的 , 是连通的 , 是开的 , 是全纯函数 , 则 , 存在多项式 , 使得
证明: 设 是 上的连续复函数构成的 Banach 空间(取上确界范数) , 为 上复多项式函数的全体 , 显然 . 由 Hahn-Banach 定理 , 要使定理成立 , 即 , 必须要求 上的任意在 消失的有界线性泛函 也消失 . 再由 Riesz 表示定理 , 我们要证明若 是 上的复 Borel 测度 , 使得当 时 , 一定有 .
令
则 是 上的全纯函数 . 取 , 使得 . 注意到
所以由 得 , 在 上
即在 上 , , 由于 是 上的全纯函数 , 故在 上存在闭道路 , 使得
于是由 Fubini 定理得
下面我们还是要作一些补充说明 .
(1) 可以是不连通的 .
(2) 当 不连通时 , Runge 逼近定理不成立 . 当
则 不能被多项式一致逼近 , 否则
矛盾 .
(3) 利用 Runge 定理可以构造给定性质的全纯函数 , 从而可以构造给定性质的极小曲面 . 设在 上 , , 且 连通 , 则由唯一延拓定理 , 不存在 上的全纯函数 , 使得 和 . 但由 Runge 逼近定理 , 存在 上的多项式函数 , 使得
下面我们把 Runge 定理推广到可数多个互补相交的紧集的情形 . 设 是 中互补相交的紧集 , 于是存在开集 使得
设 是全纯函数列 , 其中 定义在 的邻域上 , 由 Runge 逼近定理 , 存在多项式 , 使得
再对 上的函数 , 在 上取值 , 在 上取值 , 用 Runge 逼近定理 , 存在多项式 , 使得
如此继续下去 , 得到多项式 使得
由于 , 使得
可以充分小 , 只要 充分大 , 所以 在任意紧集上一致收敛 , 设 , 则
即 Runge 逼近定理可推广到可数多个互补相交的紧集的情形 .
最后推荐一下泛函分析的一些参考书目：
[1] Serge Lang . Real and Functional Analysis . Graduate Texts in Mathematics . Vol.142 .
[2] John B.Conway . A course in Functional Analysis . Graduate Texts in Mathematics . Vol.96 .
[3] Kosaku Yosida . Functional Analysis . Classics in Mathematics .
[4] Walter Rudin . Functional Analysis . (华章数学译丛)
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