试题（回忆版）
注：第5题录入错误 , 应该将为 改为 .
整体评析
这份卷比 2023 年的两份和 2024 年 5 月的那一套都稍微亲民一些，但是也有一些点如果注意不到将会导致要进行大量的计算．
但是亲民带来的后果就是容错率的下降，对于每一道题，如果是自己见过的，必须要确保做对，不能算错数．
首先群论已经到了放水的地步，对微积分的要求和之前几次考试持平，但是对高等代数的要求也仅限于矩阵、行列式的计算，对线性变换的考查也仅限于概念理解和计算，没考到非常深的内容．
题目解答
以下记 表示不超过 的最大整数，．
第 1 题
设 ，则 _____________．
换元，，得
所以．
第 2 题
72阶循环群的子群个数是_____________．
72阶循环群的子群个数等于 的因子个数，因为 ，所以子群个数是 ．
第 3 题
设 满足 取得最小值，则 _____________．
记 ，当 取得最小值时，有 ．所以
注意第一个式子中 ，所以第一条式子和 无关，只需看第二个式子．计算得
并且， ，所以 ．．
第 4 题
已知 满足 ，则 _____________．
下面求 ．把第1行的 倍减到第 行，，得到
所以
则 ．
第 5 题
设地球是一个半径为 1 的球，点 在北纬 60 度、东经 30 度，点 在南纬 30 度、西经 90 度．记 到 的球面距离为 ，则 _____________．
记 为球心，建立空间直角坐标系来表示点 、，那么，则 ．所以
所以 .
第 6 题
设函数 记 在 处的泰勒展开式为 ，则 _____________．
因为 ，所以
比较上式两侧的 项系数，得
解得 ，，，，．
所以 ．
第 7 题
设 ，则 _____________．
注意函数 的图像和 的图像、区间 都关于直线 对称，可考虑换元 ．
，所以 ，． 所以 ．
第 8 题
设 ，则 _____________．
首先为了好看起见，换元：令 ．然后再由对称性即可继续计算积分．
所以 ．在 中，“”可忽略不计，所以
第 9 题
全体迹为 0 的 2 阶方阵构成线性空间 ．已知矩阵
定义线性变换 （），且 3 阶方阵 满足 ()．则 _____________．
容易证明 ．在这组基下，我们求线性变换 对应的矩阵．(注：我只能想到这种做法了，但也许会有更快的做法) 因为
所以 ，， 对应的矩阵分别为
所以直接计算得
所以 ，．
第 10 题
一个盒子里有无限可数各球，编号分别为0,1,2,3,．现在从中随机取球，每次取出编号为 的球的概率为 ．如果连续有放回地取 6 个球，记这 6 个球编号之和为 4 的概率为 ．则 _____________．
考虑函数 ，那么 的 项系数就是取出编号为 的球的概率．于是， 的 项系数就是“有放回地取 6 个球，这 6 个球编号之和为 4”发生的概率 ．
设 ．由于 ，所以 ．因此 的 项系数为
．
第 11 题
在四棱锥 中，一只蚂蚁在 0 时刻从顶点 出发，在 时刻时，蚂蚁会等概率地从 时刻所在顶点移向与之相邻的某一顶点，并且在 时刻到达该顶点．记 为 时刻蚂蚁恰好在 点处的概率，，则 _____________．
根据全概率公式，
在两边令 ，得
解得 ．所以 ． (注：没必要精确算出 的表达式，高中的思维要扭转过来)
第 12 题
设集合 ，集合 ．则 中最多有_____________个元素是 -线性无关的．
在数域 中，一组元素 是 -线性无关的，指的是对 ，
首先回顾《高等代数》里学过的事实：若 （ 表示 的小数部分），则 和 是 -线性无关的．而对于整数 ， 和 是 -线性相关的（因为 ．）
注意到， 中元素一定形如 ，所以我们只需看 （ 的小数部分） 的最小值是多少．注意， 的最小公倍数是 ，而 ，则 ，所以 的最小值是 ．因此，在 中可以找到一组元素
它们是 -线性无关的．这里一共有 个元素．
第 13 题
设 ，则 _____________．
本题应该是全卷最难的一道题了．从这道题也可以看出，8 月的这次考试的难度是不如前几次的．
说明： 我这里的解法并不是最简便的，更简便的解法应该是直接将极限 拆成一个个区间 ，把每个区间都换元到 ，然后再进一步计算．
解： 首先，
所以
下面，计算两个极限．（注：如果自己推过这个结论，到这一步就能马上写出所求积分是 了，所以这是一个结论题！）只需计算 ．换元，让 ，则
我们估计这个被积函数在 和 的积分．
对任意正整数 ，
其中 是一个常数（不重要，只需要用到阶）．
另一方面，当正整数 满足 时，，
所以，当 充分接近于 时，取正整数 使得 ，则
综上，，这样，我们有
所以 ．
第 14 题
设 是正整数，数列 定义为 ．若 是单调递减数列，则 的最小值为_____________．
为方便起见，设 ，则 是递减数列等价于 是递减数列，等价于 是递减数列．设
可在 处补充定义 ．则 是递减数列．
由 Taylor 展开， ．所以
若 ，则 ，所以存在充分大的 使得 在区间 单调递减，所以 ，与题设矛盾．
若 ，则 ，
再设 ，则
所以 在 单调递增，．所以当 时， ， 在 单调递增．于是对任意正整数 ，都有 ，满足题意．
综上， 的最小值是 ，所以 的最小值是 1012，答案为 ．
第 15 题
已知 10 阶实对称矩阵 满足主对角线上的元素均为 2，两个次对角线上的元素均为 ．10 维列向量 满足 ，且 的每个分量都是整数，则满足条件的 有_____________个．
设 ，考虑一般情况，设 ，则
下面，设 满足 ，，，，．则 ，并且
注意 的各个分量均为整数当且仅当 的各个分量均为整数，并且从 到 的变换：
矩阵 是可逆的，所以只需看满足条件的 有多少个．
若 ，则 中有两个 1，其余都是 0．如果 ，那么必须有 （否则与 矛盾）．因此此时满足要求的 有 个．
若 ，则 中有一个 1，其余都是 0．如果 ，则 ．因此此时满足要求的 有 个．
综上，满足条件的 有 个．当 时，所求答案为 ．
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