写在前面：终于赶在8月结束前完成 Hartshorne 代数几何全部五章的补充和整理！感谢两位小伙伴的监督 , 大家可以关注他们：
我们打算利用7月和8月把最后一章——曲面的内容更新完成！主要还是简单地补充一下原文中的一些不那么详细的地方以及修改部分笔误 . 本文是代数几何中的曲面专题的第十五篇(最终篇) , 主要内容是曲面的分类，原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 , 更多精彩内容请关注：
曲面的分类
在曲线的情形 , 我们已经在《代数几何中的曲线专题(第十篇)：典则嵌入和和曲线的分类(下)》一文中得到了关于曲线的一个分类方式 , 即每一个双有理等价类中存在一个唯一的非异射影模型且有一个数值不变量为亏格 , 它可以取每一个大于等于零的值 , 而对于固定的亏格为 的曲线则可以由模簇 中的点参数化后确定 .
对于曲面而言情况则要复杂得多 , 首先非异射影模型并不是唯一的 , 不过我们总是可以考虑一个相对极小模型来使得这个非异射影模型标准化 , 如果曲面是有理曲面或几何直纹面 , 那么这些相对极小模型是已知的 , 根据《代数几何中的曲面专题(第十四篇)：曲面的双有理变换(下)》中的关于例3和例4的补充说明可知 , 对于其它的双有理等价类曲面 , 则存在唯一的极小模型 . 另外我们有双有理不变量包括算术亏格 , 几何亏格 和典则除子的自相交数 , 如果确定了极小模型 , 那么这些双有理不变量就明确了 , 但目前来看还不是十分精确地了解哪三个整数可以作为一个曲面的 , 和 , 至于曲面情形下模簇的存在性 , 除了极个别情形以外目前仍是一个 Opening Problem , 因此和曲线情形不同的是 , 我们必须满足于这些不完整的结果 .
本文我们仅简要地介绍几个基本结果 , 更详细的内容可以参考 Bombieri 和 Husemoller 的文章《Classification and embeddings of surfaces in Algebraic Geometry》 , 以及 Shafarevich 的文章《Algebraic surfaces》 .
对于域 上的任意射影代数簇 , 我们定义它的 Kodaira 维数 为环 对于域 的超越次数减 , 其中 是典则除子 , 类似于《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十六篇：微分(下)——微分形式模与微分形式层的应用》中的定理19的证明 , 我们可以得到环 的表达式 , 从而 是一个双有理不变量 , 但另一种表述是说 , 对于某些 , 在由线性系 确定的有理映射下 , 在 中的像的最大维数为 , 或对于所有的 , 总存在当 时 , 注意到对于 维代数簇 , 可以取 到 之间的每一个值 , 事实上对于曲线而言 , , 以及 (此处笔误 , 改为 g≥2 ) . 因此我们按照 对曲面进行分类 , 对于每一个 值 , 下面的定理给出了一些更具体的结果 .
定理1： 为有理曲面或几何直纹面 .
定理2(Castelnuovo 有理性定理)： 为有理曲面 , 其中 是第二多重亏格(plurigenus) .
定理2的对于 上的一个较为现代的证明是 Kodaira 给出的 , 可以参考 Serre 的专著《Critère de rationalité pour les surfaces algébriques(d'apeès K.Kodaira) , Séminaire Bourbaki 146》 , 而对于特征为 的域的情形 , 则是由 Zariski 给出的 , 可以参考 Zariski 的三篇文章《Introduction to the Problem of Minimal Models in the Theory of Algebraic Surfaces》 , 《The problem of minimal models in the theory of algebraic surfaces》和《On Castelnuovo's criterion of rationality of an algebraic surface》 .
事实上作为定理2的推论 , 我们可以证明《代数几何中的曲线专题(第二篇)：Hurwitz 定理》中的例7中涉及的对于维数为 的类数的 Lüroth 定理 , 即设 为代数闭域 , 为 的纯超越扩张 的子域且它包含 , 并使得 是 的有限可分扩张 , 则 也是 的纯超越扩张 , 这就是 Castelnuovo 的关于平面对合的有理性定理 . 至于证明 , 我们令 为 的一个非异射影模型 , 为 的一个非异射影模型 , 类似于《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十六篇：微分(下)——微分形式模与微分形式层的应用》中的定理19的证明 , 利用可分性质可以证明 和 , 由于 , 故只能有 , 注意到 , 从而 , 于是根据定理2可以推出 的有理性质 , 详细证明过程可以参考 Serre 的专著《Critère de rationalité pour les surfaces algébriques(d'apeès K.Kodaira) , Séminaire Bourbaki 146》和 Zariski 的文章 《On Castelnuovo's criterion of rationality of an algebraic surface》 .
定理3： , 假定 , 则这个等价类中曲面必定为下面的情形之一 .
(i) 一个 曲面 , 它是以 和非正则度 定义的曲面 , 且满足 ;
(ii) 一个 Enriques 曲面 , 它满足 和 ;
(iii) 一个 维的 Abel 簇 , 它满足 和 ;
(iv) 一个超椭圆曲面 , 它是 上的以一束椭圆曲线为纤维的曲面 .
定理4：假定 , 则 的曲面是椭圆曲面 , 即一个曲面 到曲线 的态射 使得几乎 的所有纤维都是非异椭圆曲线 .
定理5： 的曲面被称为一般型曲面 , 即对于某些 , 线性系 确定了 到它在 中的像的双有理态射 .
结束语：关于代数几何的曲面专题系列至此完结撒花！我们也给出之前该系列所有的文章 , 感兴趣的读者可以跳转阅读 .
5.代数几何中的曲面专题(第三篇)：直纹面(1)——直纹面的一般性质
6.代数几何中的曲面专题(第四篇)：直纹面(2)——直纹面的一般性质和例子
7.代数几何中的曲面专题(第五篇)：直纹面(3)——不变量 和椭圆曲线上的直纹面
8.代数几何中的曲面专题(第六篇)：直纹面(4)——有理直纹面的一般性质
9.代数几何中的曲面专题(第七篇)：直纹面(5)——直纹面上的丰沛除子
12.代数几何中的曲面专题(第十篇)：阶段性总结&射影空间 中的三次曲面(开篇)
13.代数几何中的曲面专题(第十一篇)：射影空间 中的三次曲面(上篇)
14.代数几何中的曲面专题(第十二篇)：射影空间 中的三次曲面(下篇)
15.代数几何中的曲面专题(第十三篇)：曲面的双有理变换(上)
16.代数几何中的曲面专题(第十四篇)：曲面的双有理变换(下)
参考文献和推荐阅读：
Robin Hartshorne . Algebraic Geometry . Graduate Texts in Mathemarics . Springer . Vol . 52 .
您的点赞与关注是我们坚持不懈的动力 (点开名片进行关注）：
由于微信平台算法改版，公号内容将不再以时间排序展示，如果您想第一时间看到我的推送，强烈建议星标我的公众号。星标具体步骤为：在公众号主页点击右上角的小点点，在弹出页面点击“设为星标”，就可以啦。感谢您的支持！
