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本文主要介绍对标势和矢势作多极展开的情形下 , 电荷体系在外电场中的电能和电流分布在外磁场中的磁能 , 前景提要如下 .
《电动力学补充专题：静电场的标势和静电势的微分方程和边值关系》
《电动力学补充专题：静磁场的矢势和矢势的微分方程和边值关系》
1.小区域内电荷体系在外电场中的能量
设外电场的电势为 , 则具有电荷分布为 的体系在外电场 中的能量为 , 如果电荷分布于小区域 内 , 那么取区域内适当的点为坐标原点 , 将 在原点处作展开 , 即
将这个展开式代入 中得到
上式就是小区域 内的电荷体系在外电场 中的能量展开式 , 其中 称为体系的电零极矩 , 而 和 分别是体系的电偶极矩和电四极矩 .
上面展开式的第一项 是假设体系的电荷集中于原点处时在外电场中的能量 , 展开式的第二项 是体系的电偶极矩在外电场中的能量 , 于是可以求出电偶极子在外电场 中所受到的力 和力矩 , 这里的力为
上式中我们利用了 , 这是因为产生外电场的电荷一般不会出现在电偶极矩 所在的小区域内 . 设 和 的夹角为 , 则力矩为
考虑力矩的方向我们就有 , 展开式的第三项 是体系的电四极矩在外电场在的能量 , 因此可以知道只有在非均匀场在电四极子的能量才不等于零 . 事实上在分子或晶格中的原子核是处于周围电子所激发产生的非均匀电场中 , 故它有不等于零的电四极矩能量 , 在不同旋转状态下原子核的电四极矩不同 , 能量也不相同 , 在实际应用中可以用微波技术测出这种能量的差别 , 从而得出原子核的电四极矩 .
2.小区域内电流分布在外磁场中的能量
设外磁场 的矢势为 , 则电流分布 在外磁场 中的能量为 , 而载有电流 的线圈 在外磁场在的能量为
其中 为外磁场对线圈的磁通量 .
取坐标系的原点位于载流线圈所在小区域内的合适的点处 , 如果区域点的线度远小于磁场发生显著变化的限度 , 那么可以把 在原点的邻域内作展开 , 即
将这个展开式代入 中得到
其中 是载流线圈的磁偶极矩 , 于是 是载流线圈的磁偶极矩在外磁场中的能量 , 和电荷体系的电偶极矩在外电场的能量 相差一个负号 , 但这并不意味着磁偶极子受到外磁场的作用时会倾向于与外磁场反向 , 另外很重要的一点就是 , 这样的结果是假设线圈上的电流 以及产生的外磁场的电流均不变的情况下导出的 , 下面我们来讨论这个问题 .
设外磁场 是由另一个载有电流 的线圈 激发产生 , 那么电流 在外磁场中的相互作用能量为
其中 为线圈 上的电流 产生的磁场对线圈 的磁通量 . 当线圈发生运动时 , 如果保持电流 和 不变 , 那么磁能的改变量为 , 但由于磁通量的变化导致在线圈上产生感应电动势 , 它会对电流做功从而改变 和 的值 , 于是为了保持 和 不变 , 必须由电源提供能量来抵消感应电动势所做的功 , 即在线圈 和 上的感应电动势分别为 和 , 它们在时间 内对电流做功为 , 而电源为了抵消这个感应电动势做功必须提供能量 才能保持 和 不变 , 因此在这个条件下 , 和 单独分别单独存在时的磁场能量不变 , 进而总磁场能量的改变等于相互作用磁能的改变 . 现在体系的能量包括有相互作用的三个方面 , 即外电源 , 电磁场以及两个线圈上的电流 , 这也说明了必须把这三个方面全部包括在内才能应用能量守恒定律 , 设线圈移动时磁场对它做功为 , 而电源提供的能量为 应该等于总磁能的改变 加上磁场对线圈所做的功 , 即 , 故 , 这表明磁场对线圈所做的功等于磁能的增加量而不是减小量 , 如果定义经典力学中的势函数 使得做功等于势函数的减少 , 那么有 , 此时磁偶极子在外磁场 中的势函数为 , 这样就与电偶极子在外电场 中的能量 完全对应 .
我们来计算磁偶极子在外磁场 中所受到的力 和力矩 , 这里的力为
上式中我们利用了 , 这是因为产生外磁场的电流一般都不会出现在磁偶极矩 所在的小区域内 . 磁偶极子所受的的力矩为
其中 为 和 的夹角 , 考虑力矩的方向我们就有 , 这样的结果也与电偶极子在外电场中的结果相对应 .
参考文献和推荐阅读：
(1) 电动力学, by 郭硕鸿
(2) 经典电动力学, by John David Jackson
(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths
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