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关于代数几何 , 我们已经完成了整个 GTM52 的翻译和补充工作 , 详细内容可以参考下面两篇汇总性的文章：
《代数几何文章全集汇总 & 答后台粉丝之疑问~|~2024龙年来临前夕突破50000》
内容包括第一部分代数几何中的代数簇理论 , 第二部分代数几何中的概形理论以及第三部分代数几何中的层与概形的上同调理论 .
《近期代数几何文章全集汇总~|~数学专业不妨学一点代数几何》
内容包括第四部分代数几何中的曲线专题以及第五部分代数几何中的曲面专题 .
然而我们知道代数几何还和其他的一些分支交织在一起 , 比如代数几何与复流形结合 , 还有代数几何与代数数论的结合 , 下面简单介绍一下代数几何中的超越方法以及 Weil 猜想 , 如果将来可能的话 , 那么我们会适当地展开 .
1.代数几何中超越方法的简介
如果 是 上的非异簇 , 那么我们可以将 视为复流形 , 于是所有的复分析与微分几何的方法都可以用来研究这个复流形 . 假如一定要在抽象代数几何和复流形的术语之间给出一本合适的词典 , 那么这些结果就可以转化为原来的代数簇 的结果 . 事实上这是个极其有力的方法 , 它产生过许多重要的结果 , 目前仍然在继续蓬勃发展 , 我们姑且称这样的方法为超越方法 , 而这些结果就是由超越方法来证明的 , 不过目前我们还不了解它们的纯代数证明方法 . 另一个重要的问题是 , 代数簇在复流形的一般理论中应该处于怎样的地位以及哪些特别的性质能把它们的特征从全体复流形在描述出来 , 如果将来有可能 , 我们会对这个广泛而重要的研究领域作一番简短地讨论 .
2.代数几何中 Weil 猜想的简介
1949年 Andre Weil 叙述了关于有限域上代数方程组解的个数的著名猜想 , 这些猜想揭示了有限域上定义的代数簇的算术与复代数簇的拓扑之间的一个很深刻的联系 , 同时也指出类似于通常的复代数簇的上同调理论 , 如果能对抽象代数簇给出一个适当的上同调理论 , 那么我们就可以由上同调理论各种标准的性质得到 Weil 猜想 , 这就是后来将各种上同调理论引入到抽象代数几何的一个极其重要的原因 . 1963年 Grothendieck 证明了 - 上同调具有足够多的性质来推导出 Weil 猜想的一部分 , 即 -函数的有理性质 . 1973年 Deligne 证明了 Weil 猜想的剩余部分 , 即 Riemann 猜想在函数域上的类比 , 自此 Grothendieck , M.Artin 和其他法国学派的数学家开启了关于 - 上同调研究工作 .
参考文献和推荐阅读：
Robin Hartshorne . Algebraic Geometry . Graduate Texts in Mathemarics . Springer . Vol . 52 .
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