本文源于公众号学知园学习中心 , 作者复流形 . 想要学习几何与分析的可以关注他：
极小曲面之常平均曲率曲面
考虑 中的曲面 , 过 上某点的所有曲线中，有两条曲线分别具有最大和最小的曲率 , 称其平均值 为 在该点的平均曲率 . 若 上所有点都具有相同的平均曲率 , 则称 为常平均曲率曲面 , 球面是广为人知的一个例子 , 常平均曲率起源于等周问题 . 本文将分别探讨无边界和有边界的曲面 , 有边界的曲面又分为两类讨论 .
球面上的点另具有重要性质 , 一般曲面 上具此性质的点称为 umbilical point . 若 的每一点都为 umbilical point , 则称 为 umbilical . 第三部分中将讨论常平均曲率曲面与 umbilical 曲面之间的可能联系 .
1.缘起
我们手拿切面为圆的吸管 , 将其一段 浸入肥皂溶液后抽出 , 有一平坦的肥皂膜附着于 为一圆盘 . 若吸管另一端 灌入空气 , 则圆盘变形为附着于 的肥皂泡 . 用手指堵住 , 使空气无处逃逸 , 则此肥皂泡形成为 spherical cap . 稍微扰动肥皂泡使之变形但仍附着于 , 且扰动过程中手指一直堵住 端 , 则停止扰动后 , 肥皂泡会恢复为 spherical cap .
肥皂泡可视为分割两均匀介质的界面 , 在无重力状态 , 界面的能量与面积成正比 , 而肥皂泡取得最小能量 . 上述肥皂泡的构造还受制于两个因素 , 即肥皂泡的边界固定为 , 且肥皂泡与吸管所包夹的空气量为固定值 . 在这两个限制下扰动曲面 ,肥皂泡取得面积的极小值 , 因此肥皂泡是下述变分问题的解 , 其解为 spherical cap .
问题 : 给定常数 以及平面 上的圆 , 通过 且与 包夹体积 的所有曲面中 , 何时面积最小 ?
在前述实验中 , 如果持续往吸管内灌入空气 , 肥皂泡终将脱离吸管成为完整球面 . 此时肥皂泡满足的限制仅剩一个 , 在体积限制下要取得面积的最小值 . 换言之 , 球面是下述古典等周问题的解 .
问题 : 体积固定的所有封闭曲面中 , 何时面积最小 ?
将面积视为曲面的函数 , 考虑体积维持恒定的曲面的微小扰动 , 则面积函数的临界点为常平均曲率曲面 . 换一观点来看 , 考虑分割两介质的界面 , 忽略 的厚度 , 界面 承受的内外压力差 与曲面张力 成正比 , 而 的形状由 Laplace 方程决定 , 即 , 其中 为 的平均曲率 , 是介质所决定的常数 , 当压力恒定时 的平均曲率为常数 . 而肥皂膜 , 肥皂泡以及毛细曲面皆属于此类界面 . 因此我们把上述两个问题分别转化如下 .
问题 : 给定常数 及封闭曲线 , 通过 且平均曲率为常数的曲面是否存在 ? 是否不止一个 ?
问题 ：封闭的常平均曲率曲面一定是球面吗 ?
2.先看问题
1853年 J.H.Jellet 证明球面是唯一的 star-shaped 常平均曲率曲面 . 1900年 H.Liebermann 证明卵形的常平均曲率曲面必为球面 . 半个世纪后 H.Hopf 赋予常平均曲率曲面全纯可微 -形式(holomorphic differential 2-form) , 并于1951年证明了下面的结论：
定理1: 亏格为零的封闭常平均曲率曲面必为球面 .
1956至1962年间 A.D. Alexandrov 证明了下面的结论：
定理2: 嵌入的封闭常平均曲率曲面必为球面 .
Alexandrov 的证明结合了曲面对平面的反射以及椭圆方程的最大值原理(maximum principle) , 至今仍是微分几何及偏微分方程领域的重要技巧 . 1984年 J.L.Barbosa 及 M.do Carmo 证明了下面的结论：
定理3: 稳定的封闭常平均曲率曲面必为球面 .
直到上世纪80年代 , 球面是唯一为人所知的封闭常平均曲率曲面 . 1986年 H.C. Wente 证明某个常平均曲率浸入(immersed)环面的存在性 , 可以说是石破天惊 , 激起了后续寻找封闭常平均曲面的风潮至今未衰 . 而 Wente 发展的技巧建立起常平均曲率曲面与可积系统的关系 , 常平均曲率环面因而能被深入探讨 .
1991年~1992年 N.Kapouleas 对任意亏格构造出封闭的浸入常平均曲率曲面 , Kapouleas 粘合球面及 Delauunay 旋转曲面 , 其关键是要在粘合处做扰动使其平滑 , 此构造方法迄今仍被广泛采用 . 另有学派结合 loop groups 与可积系统理论发展出 DPM 方法以构造常平均曲率曲面 .
3.回到问题
在问题 中 , 给定常数 及封闭曲线 , 要寻找曲面 满足下述条件 , 其中 , , 为 中的单位圆 .
J. Douglas 及 T. Rado 处理了 的情况 , 并因此于1936年获得菲尔兹奖 . 上世纪五十年代 开始探讨 的情况 , 到了七十年代 , 多位数学家考虑变分问题的解 , 而对于 足够小时 , 寻找曲面 在 时以 Dirichlet 积分
取代面积
这是因为 , 在 时则考虑
并考虑定义在 上且通过 的浸入所组成的群 , 与 的成员相比 , 曲面 最小化 . 而在 的第二项中
是曲面 相对于原点的代数体积(algebraic volume) , 而 可视为 Langrange multiplier . 可由变分学的直接方法获得 , 它是 的 极小化序列(minimizing sequence)收敛的极限 , 其中的关键是要利用 的紧致性及 的下半连续性证明极小化序列收敛 .
80年代 , H.Brezis , J.M.Corn 及 M.Struwe 处理 在 mountain pass level 的紧致性 , 确认了问题 的解若存在必定不唯一 , 即若 在 能被 极小化 , 则在 中必定存在另一不稳定的解 , 若 是圆 , 则通过 的常平均曲率曲面至少有圆盘( )及一大一小两个 spherical caps() . 事实上即使 是圆时 , 对问题 的解我们所知仍甚少 . 但有两个确认的事实:
(1) 通过圆的紧致 umbilical 曲面必为圆盘或 spherical caps .
(2) 通过圆的紧致旋转曲面必为圆盘或 spherical caps .
另外 , Kapouleas 于1991年证明存在通过圆而不具有旋转对称的紧致常平均曲率曲面 , 此曲面有自相交且亏格大于 , 位于边界平面所决定的某个半空间 . 迄今没有该曲面的电脑绘图 , 基于这些事实 , 对照前述三个定理 , 我们作出下面三个猜想：
猜想1: 通过圆的浸入常平均曲率曲面 , 若亏格为 , 则必为 umbilical .
猜想2: 通过圆的常平均曲率曲面 , 若为嵌入 , 则必是 umbilical .
猜想3: 通过圆的常平均曲率曲面 , 若为稳定 , 则必是 umbilical .
4.将问题 考虑的曲面限制为平面区域上的函数图形
我们重新叙述问题如下：
问题 : 给定常数 及空间的封闭曲线 , 是否存在函数通过 且平均曲率为 ?
此问题中的 必为某平面曲线上的函数图形 , 因此可再次重新陈述问题如下：
问题 ：给定常数 , , , 寻找光滑函数 使得
其中 及 分别为 中的梯度及散度算子 .
用散度定理便得到此问题有解的必要条件 , 其中 及 分别为 的长度及 的面积 . 当 为半径 的圆 , 此必要条件变为 . 事实上 R.Finn 于1965年证明下面的结果：
定理4: 若 且 包含半径 的圆 , 此问题的解必为半径 .
F.Finn 同时也证明了下一个结果：
定理5: 当 时问题 对于任意连续边界值 都有解的充分必要条件是 为凸 .
对于一般情况 , H.J. Serrin 于1969年证明下面的结果：
定理6: 设 为有界凸集 , 问题 对任意连续边界值 都有解的充要条件是平面曲线 的曲率 .
在偏微分方程领域 , 问题 因其边界条件而被归类为 Dirichlet 问题 . 又因为方程为拟线性二阶椭圆方程 , 通常运用Leray-Schauder 理论求解 , 即先假设解 存在 , 估计 及 , 若两者皆存在与 无关的上界 , 则解存在 .
5.毛细曲面
无重力状态下 , 将水平切面为 的试管垂直插入溶液槽 , 溶液因毛细作用而附着于试管壁上升 , 形成毛细曲面 , 它具有常平均曲率 , 与试管壁相交于一曲线 , 沿此曲线 与管壁的交角恒定不变 . 因此我们考虑如下的边界条件
其中 是 指向 内部的单位法向量 . 设 - 有解 , 则在试管 内 , 溶液在 点升起的高度是 , 而由 知 的函数图形与管壁 的交角恒为 .
处理 - 解的存在性 , 依赖于 E.de Giorgi 及其同时发展出的 BV 理论 . 对子区域 , 边界 , 其中 , , 考虑函数
其中 , 分别为 及 的长度 , 分别为 及 的面积 . 利用散度定理可得解存在的必要条件为 .
而要得到解的充分条件 , 观察到当 取得最小值时 , 是半径为 的圆弧 , 在 的光滑点与 的交角为 , 而在 的凹角与 的交角 . 针对此情况 , 我们让 最小值发生的子区域 , 七十年代 Giusti 和 Finn 证得下面的结果：
定理7: - 解存在的充要条件是子区域 满足 .
对于一般的 , 的数量有限 . 若 不存在 , 上述充要条件成立 , 因此解存在 , 而若 为有限个 , 则逐一计算其 值 , P.Concus 及 Finn 按照此策略证得下面的结果：
定理8: 若 包含某突出的角 , 角弧度 , 则 - 无解 .
一般来说 , 与某支撑面交角恒定的常平均曲率曲面为毛细曲面 , 称该交角为接触角(contact angle) .
考虑两个平面包夹的楔形区域 , McCuan 及 Park 分别于1997及2005年证明下面的结果：
定理9: 楔形区域内 , 嵌入环形毛细曲面必为球面的一部分 .
最后我们给出三个问题：
问题 : 楔形区域或半空间内 , 是否存在紧致浸入且不是部分球面的毛细曲面?
问题 : 楔形区域或半空间内 , 是否存在紧致嵌入且亏格 的毛细曲面?
问题 : 楔形区域或半空间内 , 稳定毛细曲面是否必为部分球面?
对于问题 , Wente 于1995年构造出了楔形区域内非紧致的毛细曲面 . 关于问题 , 在接触角 的情况下 , McCuan 于1997年证明了问题所陈述的毛细曲面不存在 . 关于问题 , 在接触角 且毛细面边界为嵌入曲线的情况下 , J.Choe 及 M.Koiso于2016年证明了稳定的毛细曲面必为球面的一部分 . 事实三个问题都尚待更完整的解答 .
参考文献与推荐阅读：
William H. Meeks III , Joaquin Perez , A Survey on Classical Minimal Surface Theory .
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