本文源于公众号学知园学习中心 , 作者复流形 . 想要学习几何与分析的可以关注他：
Possion 积分
设 是开圆盘 上的实调和函数 , 即 无穷次可微 , 且
其中 , 则我们可以构造 上另一个调和的实函数 满足 , 使得 是解析的 , 称这个函数 是 的调和共轭(或共轭调和) . 令 , 由 , 记 , 可得当 时
其中
即在 上调和函数均有上面的幂级数表示 , 而且在 的任意紧子集上一致收敛 . 假设 , 取 , 有
于是
又当 时 , 有
于是得到调和函数的 Poisson 积分表示 , 则有下面的定理 .
定理1: 若 是开圆盘 上的调和函数 , 且有 , 则
我们把函数 称为 Poisson 核 , Poisson 核具有下列性质 .
命题2: Poisson 核 有下列性质
(i) ;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) , 当 时, 有 .
证明: (i)和(ii)显然成立 . 在上面定理1中 , 令 ,即可得(iii) . 若将 写成
同时考虑到当 时 , 有正的下界 , 从而(iv)成立 .定理3: 设 是开圆盘 上的有界调和函数 , 则存在 , 使得当 时有
为了证明该定理 , 我们首先回顾分析中的两个结论 .
(i) , 其中 , 则 , 其中 .
(ii) 设 是 Banach 空间 , 则 中的单位球是弱紧的 , 即若 , , 则存在 及 , 使得
证明: 取数列 , 且 单调增到 , 考虑 , , 因为 是有界的 , 所以 , 把 视为 中的元素 , 由上面的结论(i)和(ii) , 存在子列 及 , 使得
由于 , 是 上的调和函数 , 于是由 Poisson 核的性质可知 , 有 Poisson 积分表示 , 即当 和 时有
又由于当 和 时有
于是由极限的唯一性得
定理4: 如果 , 是开圆盘 上的调和函数 , 而且当 时 有界 , 则存在 , 使得
证明: 同上一定理的证明一样, 取数列 , 且 单调增到 (如 ) , 考虑 , , 因为 , 所以由 Cantor 对角化过程 , 存在子列 以及 , 使得
其中 是 对偶空间且满足 . 由于 是 上的调和函数 , 于是也有 Poisson 积分表示 , 即当 和 时有
又由于
于是由极限的唯一性得
那么 时情况如何呢? 由于 上有限测度空间是 上连续函数空间的对偶空间 , 即对应于 , 有限测度 由下式给出
那么用与上面定理同样的方法可以证明下面的结果 .
定理5: 如果 是开圆盘 上的调和函数 , 且
则在 上存在有限测度 ,使得
定理6: 如果 是开圆盘 上的调和函数 , 则在 上存在有限正 Borel 测度 , 使得
证明: 利用调和函数的平均值性质 , 得
再利用上面的定理5 , 存在 使得
因为 是 的弱 -极限,所以 是正测度 .
我们知道 , 若 是 上的调和函数 , 当 和 有界时 , 均有 Poisson积分表示 , 那么当 时 , 的情况如何呢? 下面我们首先考虑由 函数给出的 Poisson 积分的边界行为 .
定理7: 设 是 上的连续函数 , 且 , 令 时有
则 是 上的调和函数 , 且
关于 是一致收敛 .
证明: 令
则当 时 ,
由于该级数在任意紧子集上一致收敛 , 所以 是 上的调和函数 .
由于 和 都是周期为 的函数 , 所以 可写成以下形式 , 即
再由命题2中的 Poisson 核的性质(iii)得
因为 是 上的连续函数 , 所以 , 存在 , 当 时, 有 . 于是
由 Poisson核的性质 (i)和 (iii)得到
设 , 于是由 Poisson 核的性质(iv) , 当 充分接近于 时 , 得到
从定理的证明可以看出 , 其主要依赖于 Poisson 核的性质 (iii), 对任何其他形式的核都可以得到类似的结果 . 该定理给出了 Dirichlet 问题的解 , 连续地扩张到 上 .
利用上面的定理7和 Fubini定理有下面的结果 .
定理8: 令
其中 是 上的有限测度 , 则 弱 -收敛于 , 即对任意周期为 的连续函数 , 有
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