本文源于公众号学知园学习中心 , 作者复流形 . 想要学习几何与分析的可以关注他：
本文我们介绍一些辛向量空间的一些基本性质 .
1.辛向量空间的概念
令 是实数域上的有限维向量空间 , 上的辛结构(symplectic structure)是指一个非退化的反对称双线性形式
而带有辛结构的向量空间被称为辛向量空间(symplectic vector space) .
称 是双线性形式(bilinear form)是说对任意的 , 都被赋予一个数 使得
对所有实数 和所有 都成立 , 并且
对所有实数 和所有 都成立 .
称 是非退化(non-degenerate)形式是说
2.最简单的例子
一个基本例子是 , 其上的辛结构是
我们称这是 的标准辛结构(standard symplectic structure) . 所以如果 , 则 是由 张成的平行四边形的定向面积 .
3.子空间的特殊情况
如果 是辛向量空间 的一个子空间 , 则记 是 的辛正交补 , 即
一个子空间 被称为
(i)辛的(symplectic) , 如果 ;
(ii)迷向的(isotropic) , 如果 ;
(iii)余迷向的(co-isotropic) , 如果 ;
(iv) Lagrangian , 如果 .
4.辛子空间
根据 的非退化性 , 我们有 , 则 是辛的当且仅当 是辛的 . 同样的 , 到任何辛子空间 上的限制是非退化的 , 这使得 成为一个辛向量空间 .
反之 , 称 到 上的限制是非退化的 , 即 . 从 的反对称性 , 我们得到 对所有 都成立 , 这就意味着 的任何一维子空间都是迷向子空间 .
现在假设 但是 , 但是 . 考虑由 和 张成的子空间 , 则
所以 是一个比 大一维的迷向子空间 . 如此归纳得进行下去 , 如果现在我们假设 的维数是有限的 , 则这个过程必须在某个时候停止 . 我们已经证明任何一个迷向子空间被包含在一个最大的迷向子空间里并且 是一个最大的迷向子空间当且仅当 , 也就是说当且仅当 是 Lagrangian .
如果 是 的任何一个子空间 , 的非退化性推出 . 所以如果 , 则 , 因此我们得到每一个(有限维)辛向量空间都是偶数维的并且 的迷向子空间是 Lagrangian 当且仅当其维数等于 , 即当且仅当其是最大的迷向子空间 .
5.正则形式
令 是一个辛向量空间 , 对任何非零元素 , 我们可以找到一个 使得 , 因此由 和 生成的子空间 是一个二维辛子空间 . 进一步映射
给出了 到 的一个辛同构 . 如果 , 我们可以应用同样的构造于 上 . 所以根据归纳法可以把任何辛向量空间分解为一个二维辛子空间的直和 , 即
这里 , 这就证明了任何辛向量空间都是偶数维的 , 是互相(辛)正交的且每个 是由 张成的 . 特别地 , 这证明了所有 维辛向量空间都是同构的 , 且都同构于 (带有其上标准的辛结构)的 个 copy 构成的直和 .
令 为由上述构造中的 张成的子空间 , 这显然是迷向的 . 同样地 , 构成 的一组基 . 如果 在上述基下有如下的表达式
则 . 所以 , 即 是 Lagrangian . 于是由 张成的子空间 也是 Lagrangian .
反之 , 如果 是 的一个 Lagrangian 子空间且如果 是一个 Lagrangian 子空间的补 , 则 诱导出 和 的一个非退化线性对 , 因此对任何的一组基 选出了 的一组对偶基 使得 有如上形式的一组基 .
6.辛群
辛向量空间 的一个线性变换 被称为辛的(symplectic) , 如果
显然两个辛线性变换的乘积是辛线性变换 , 且恒等变换是辛线性变换 . 同样地 , 如果 是一个辛线性变换且 , 则 对所有 都成立 , 所以 . 因此 , 每一个辛变换 是可逆的 , 并且 显然也是辛线性变换 . 故 上的所有辛线性变换组成的集合是一个群 , 称为 的辛群(symplectic group)并记作 . 如果 , 则辛群记为 .
二维辛群
如果 , 则 是辛的当且仅当 保持面积和定向不变 , 也就是说 , 所以 的辛群就是 , 即所有行列式为 的 矩阵组成的群 . 在高维情形下 , 辛群的描述会复杂得多 , 我们将在后面讨论这种情况 .
Gauss 定理
我们需要 Gauss 关于 的一个定理 . 这个定理指出 , 每个 的元素可以写成如下形式的矩阵
的乘积 .
证明: 首先假设我们的矩阵 具有如下形式
对实数 和 , 考虑乘积
因为 , 我们可选取 使得 从而选择 . 在这个选择下 , 右边矩阵的左上角是 且右上角是 . 因为右边矩阵的行列式是 , 所以其右下角必须是 . 所以对上述选择的 和 , 我们得到
或者
现在考虑一个如下形式的行列式为 的矩阵
因为行列式为 , 我们知道 , 用
左乘上述矩阵 , 我们得到
或
但是我们知道右边最后一个矩阵可写成我们所需要的三个矩阵的乘积 , 所以我们证明了 Gauss 定理 .
我们会用这个定理去证明 Gaussian 的一些光学系统和 之间存在一个对应 .
7.相容 Hermitian 结构
在上述引入的基 下 , 我们考虑线性映射
它满足
满足上面三个条件中任何两个的 自动地满足第三个条件 . 是说 使得 成为一个 维复向量空间 . 是说 是一个辛变换 , 即保持辛形式 不变 . 是说 是一个实对称双线性形式 .
所有三个条件(实际上只要是任何三个中的两个)说明由
定义的 是半 Hermitian 形式 , 其虚部是 . 对上面选择的 , 这个形式实际上是 Hermitian , 即 的实部是正定的 .
对辛群这些事实的证明 , 考虑其正定情形将会是方便的 . 实向量空间 上一个复结构是指一个自同构 且满足 , 于是有下面的定义 .
辛向量空间 上的一个复结构 被称为相容的(compatible) , 如果由 定义的双线性形式 是 上的一个正定的内积 .
一个相容的复结构使得 成为一个 Hermitian 向量空间 , 即成为带有 Hermitian 度量
的复内积空间 .
给定上述一个相容的复结构 , 我们可以把 看作一个带有 Hermitian 形式 的 维复向量空间 . 令 是 的一组正交基 , 以及 , 则 对所有 和 都成立 , 且
所以当我们把 看成是一个实辛向量空间时 , 构成了 的一组辛基 .
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