本文源于公众号学知园学习中心 , 作者复流形 . 想要学习几何与分析的可以关注他：
泛函极值的必要条件与充分条件
我们之前在《分析学与变分学：Euler-Lagrange 方程》一文中讨论的 Euler-Lagrange 方程 , 本文我们介绍泛函极值的必要条件与充分条件 .
1.函数极值的再回顾
设 , 是一个开集 , . 一个很自然的问题为 成为 的一个极小点的必要条件是什么以及充分条件是什么 .
因为 的一个邻域 使得
所以 , 使得当 时 , , , 于是
这表明一元函数 以 为极小点 , 于是有
这就是
即矩阵
是非负定的 . 反过来 , 如果 是正定的 , 那么 是 的一个严格极小点 .
2.二阶变分
现在回到泛函的极小值问题 . 我们知道 E-L 方程是一阶变分的条件 , 它只是极小的一个必要条件 , 并不充分 . 从泛函分析和微分拓扑角度看 , 满足 E-L 方程的解 只是泛函的临界点(critical point) . 和有限维极值点相似 , 还需要看二阶变分才能判断它是否成为极小 .
设 , 泛函定义如下
又设 是泛函 的 E-L 方程的解 , 即 . 现在 , 如果令
那么一元函数 便以 为极小点 .
我们把
称为 在 沿 的二阶变分 .
一方面 , 如果 是极小点 , 那么必然有 , 即
另一方面 , 若 满足 E-L 方程 , 并且 使得
这是因为
其中 依赖于 .
引入下列函数矩阵
以及它们沿函数 的限制
我们有
因为
而且 , 所以对于 当 , 一致地有
即得
从而 , 当 充分小时 , 使得
虽然我们得到了泛函取极小值的必要条件与充分条件 , 但因其中还带有任意函数 , 所以并不是我们最终需要的结果 .
3. Legendre-Hadamard 条件
首先我们注意三个矩阵 在判定 成为极小值点中的地位是不平等的 .
事实上 , 以及 充分小 , 取 和 , 当 时满足 .
令 , 则 , 当 充分小时 , 有
代入 , 令 , 我们得到
现在我们引入下列 Legendre-Hadamard 条件
如果 , 使得
那么我们称其为严格 Legendre-Hadamard 条件 .
定理1:设 , 若 是 的一个极小点 , 则 Legendre-Hadamard 条件成立 . 反之 , 若 满足 E-L 方程 , 而且存在一个 使得
则 是 的一个严格极小点 .
我们说过条件
中含有任意函数 , 有必要把它换成一个不含 的条件 , 为此我们要建立它与严格 Legendre-Hadamard 条件之间的联系 . 事实上 , 充分条件
右边积分中的项 是可以去掉的 . 这是因为我们有如下引理 .
引理2(Poincare): 设 , 则
证明: 因为
由 Schwarz 不等式
积分后
现在我们如果把
右端积分中的 去掉 , 换成
那么定理1仍成立 .
例1：设 和 , 我们知道泛函 的 E-L 方程
有解 .
因为
所以
应用定理1 , 我们知道 是一个极小点 .
一方面 , 从二阶变分的表达式我们不难看出如果矩阵
是正定的 , 那么 E-L 方程的解 必是极小点 . 但从下一个例子我们可以看出这矩阵的正定性并不是极小的必要条件 .
例2: 设 , 则当 , 矩阵
不是半正定的 . 但当 充分小时 , 由 Poincare 不等式 , 仍然有
于是 还是极小点 . 另一方面 , 不难验证 Legendre-Hadamard 条件不是 成为极小点的充分条件 .
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