本文源于公众号学知园学习中心 , 作者复流形 . 想要学习几何与分析的可以关注他：
Euler-Lagrange 方程
1.函数极值必要条件之回顾
在研究泛函极值的必要条件之前 , 我们先回顾一下函数极值的必要条件 . 设 是一个开集 , 又设函数 在 达到极小值 , 即有 的一个开邻域 使得
于是 , 其中 是零向量 , , 当 以及 时 , 有
即
令 , 则有
而 是任意的 , 所以
这就是 成为 的极小点的必要条件 .
2. Euler-Lagrange方程的推导
我们只讨论泛函依赖于单变量(可以是向量值)函数的情形 . 现在给定一个区间 和一个开区域 , 给定一个连续可微函数 , 其中 . 再给定两个点 , 令
以及 上的泛函
称 是 在 上的极小点 , 如果存在 的一个邻域 (在这里指的是在 中按 拓扑)使得
我们要在 存在的前提下 , 寻求使泛函 在函数 达到极小值应满足的必要条件 .
类似于函数极值问题 , , 其中 表示 在 中的闭包 , 若 使得当 时有 , 便有
此即
我们把 称为 对 的一阶变分 .
将 换成 相当于在此式中将 换成 , 于是得到等式 , 即 , 有
接下来我们要把这个积分等式中的任意函数 去掉 , 得到一个关于 的关系式 , 为此需要下述引理 .
引理(du Bois-Reymond): 若 , 且
其中 , 则 为常值函数 .
证明: 令 且 , 则 , 因此
因为 是连续的 , 所以 是常值函数 .
我们可以得到下面的定理 .
定理: 设 是泛函 在 上的一个极小点 , 则它满足下列积分形式的 Euler-Lagrange 方程(简称 E-L 方程)
E-L 方程是泛函极小值的必要条件 , 显然它不是充分的 . E-L 方程的解是相应泛函 的临界点 , 它可以是极大值或极小值 , 也可以是其他形式的临界点 .
下面我么来对定理作一些补充说明 .
当 时 , 在广义函数意义下 , 积分形式的 E-L 方程又可以改写成微分形式的 E-L 方程
其中 是广义导数 . 我们定义 Euler-Lagrange 算子 如下
特别地 , 如果 以及 , 那么上式在逐点意义下成立 , 也就是说可以把 换为普通导数 .
我们可以把引理中的函数类 放大一些. 考虑 Lipschitz 函数 . 因为 Lipschitz 函数是绝对连续的 , 所以几乎处处存在导函数 , 而且泛函 中的积分可以按 Lebesgue 积分意义理解 . 取
在 中 , 而
则是 的一个邻域 . E-L 方程仍然在 Lebesgue 意义下对几乎所有的 成立 , 即
事实上 , 因为这时 几乎处处存在且有界 , 从而存在 的一个紧邻 , 使得 的导数在 上有界 . 我们得到
这是因为积分号内的差有一致的控制 , 求导过程可以用 Lebesgue 控制定理来保证积分号下取极限 .
此外在 du Bois-Reymond 引理中我们可以用 换成 , 把 换成 , 即边值为 的 上的绝对连续函数空间 .
而逐段 的连续函数(即存在有限点集 使得 , 而且 都存在 , ) 是 Lipschitz 函数 , 因此积分形式的 E-L 方程对逐段 的连续函数类成立 .
作为应用 , 力学 , 几何与物理中的基本方程大都是变分问题的 E-L 方程 .
例(质点运动方程)： 受外力 作用的质量为 的质点 , 设其位置坐标为 , 则速度 , 动能 . 倘若外力 有位势 , 即存在函数 满足 ,我们称
为 Lagrange 函数 . 适当确定定义域 , 考虑泛函
使得 实现极小的轨道 满足 Euler-Lagrange 方程 , 这正是 Newton 第二定律所确定的运动轨道 .
对于有 个自由度的质点组 , 位置坐标记作 , 则有
动能 , 其中 是正定矩阵 ;
位能 ;
Lagrange 函数 ;
泛函
由此导出 E-L 方程组为
这还是 Newton 方程 .
例(测地线): 设 是一个 维 Riemann 流形 ,Riemann 度量为 , 其中 是一个 正定对称矩阵 . 当 两点在 的同一个坐标卡 内时 , 同胚于 中的一个开集 . 令 , 有
而对于泛函
则有 E-L 方程
其中
所以
我们引入 Christofel 符号 , 即
便有
因为 是可逆的 , 记其逆阵为 , 又记
于是 E-L 方程又可以写成
这就是微分几何中的测地线方程 .
变分导数
以上 E-L 方程的推导过程虽然是在整个区间 上进行的 , 但 , 在这点的 E-L 方程实际上只依赖于这点邻近的行为 , 即只依赖于包含 的任意邻域 . 因为支集在 内的试探函数 显然在 内 , 由这些函数的任意性就导出了在 上的 E-L 方程 .
我们还可以通过以下极限过程来看这种局限性 . 当 时 , 并假设 , 则有
其中 , 的支集在 内 , 是曲线 与曲线 在 之间所夹的面积 , 而极限过程是
在这个意义上 , 我们称 Euler-Lagrange 算子对函数 作用后在 点的值
为 在 的变分导数 .
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