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我们今天来汇总一下近期代数几何文章 . 《代数几何中的曲线专题》和《代数几何中的曲面专题》虽然讲述的是经典代数几何中的是非异射影曲线和代数曲面 , 但使用的确是概形和上同调的方法 .
代数几何之曲线和曲面专题补充篇（上）：相交理论，Chow 环和 Chern 类
代数几何之曲线和曲面专题补充篇（下）：Riemann-Roch 定理及一些结果的补充与推广
在《代数几何中的曲线专题》中我们运用概形和上同调来研究曲线 , 事实上除了在对 Riemann-Roch 定理的证明中用到 Serre 对偶以外很少运用概形和上同调 . 于是我们首先介绍 Riemann-Roch 定理 , 这样一来除了可以更深刻的理解这一定理外 , 还就能将代数几何与其他数学分支紧密地联系起来 . 然后我们需要研究曲线的各种显式的表示方法 , 如将曲线表示为 的一个分歧复叠 , 故我们会将一曲线表示为另一曲线的分歧复叠继续进行深入的研究 , 这就得到了 Hurwitz 定理 , 它将两条曲线的典则除子进行比较 . 事实上曲线还有另外的表示方法 , 可以证明任一非异射影曲线可以嵌入到 中也可以双有理嵌入到 中使得它的象仅以结点为奇点 , 以及在特征 时会出现一个有趣且出乎意料的曲折 . 既然是讨论曲线 , 自然少不了亏格为 的特殊情形——椭圆曲线 . 最后还讨论了典则嵌入和对于抽象曲线以及 中的某些分类问题 .
1.代数几何中的曲线专题(第一篇)：Riemann-Roch 定理
3.代数几何中的曲线专题(第三篇)：曲线在射影空间的嵌入(上)
4.代数几何中的曲线专题(第四篇)：曲线在射影空间的嵌入(下)
5.代数几何中的曲线专题系列文章第一次阶段性总结&椭圆曲线的开篇
6.代数几何中的曲线专题(第五篇)：椭圆曲线(1)—— 不变量
7.代数几何中的曲线专题(第六篇)：椭圆曲线(2)——群结构与 Jacobi 簇
8.代数几何中的曲线专题(第七篇)：椭圆曲线(3)——复椭圆函数
9.代数几何中的曲线专题(第八篇)：椭圆曲线(4)—— Hasse 不变量和椭圆曲线上的有理点
10.代数几何中的曲线专题系列文章第二次阶段性总结&推荐好书《代数基础：模 , 范畴 , 同调代数与层》
11.代数几何中的曲线专题(第九篇)：典则嵌入和和曲线的分类(上)
12.代数几何中的曲线专题(第十篇)：典则嵌入和和曲线的分类(下)
13.代数几何中的曲线专题(第十一篇)：射影空间 中曲线的分类(上)
14.代数几何中的曲线专题(第十二篇)：射影空间 中曲线的分类(下)
在《代数几何中的曲面专题》中的代数曲面指的是非异射影曲面 , 包含了曲线上的几何以及曲面间的双有理变换 , 重点处理两个特殊的曲面类 , 即直纹面和 中的非异三次曲面 , 它们既可以作为例子来阐述曲面理论 , 也可以为进一步研究更一般的代数曲面奠定基础 . 首先我们讨论了曲面上的相交理论并证明了 Riemann-Roch 定理 , 作为它的应用 , 我们给出了 Hodge 指标定理和丰沛除子的 Nakai-Moishezon 判别准则 . 接着讨论了在单点的独异变换下即胀开( Blowing-up )一个点后曲面及上面的曲线(即非曲面上的一个有效除子)的变换 , 然后就可以证明双有理态射分解为独异变换的定理以及第一类例外曲线可收缩的 Castenuovo 判别准则 . 由于直纹面上的许多性质与底曲线上的某些线性系紧密相关 , 故讨论直纹面可以为进一步研究曲面论提供强有力的手段 , 且曲线 上的直纹面与 上秩为 的局部自由层之间也有密切的联系 , 事实上我们还能得到曲线上这类局部自由层的分类的一些信息 . 在曲面论中我们还会讨论 中的非异三次曲面和这些曲面上的 条曲线 , 如果将这种曲面表示为 对 个点的 Blowing-up 时 , 研究三次曲面上的线性系就可以转化为研究平面曲线构成的某种具有指定基点的线性系 .
5.代数几何中的曲面专题(第三篇)：直纹面(1)——直纹面的一般性质
6.代数几何中的曲面专题(第四篇)：直纹面(2)——直纹面的一般性质和例子
7.代数几何中的曲面专题(第五篇)：直纹面(3)——不变量 和椭圆曲线上的直纹面
8.代数几何中的曲面专题(第六篇)：直纹面(4)——有理直纹面的一般性质
9.代数几何中的曲面专题(第七篇)：直纹面(5)——直纹面上的丰沛除子
12.代数几何中的曲面专题(第十篇)：阶段性总结&射影空间 中的三次曲面(开篇)
13.代数几何中的曲面专题(第十一篇)：射影空间 中的三次曲面(上篇)
14.代数几何中的曲面专题(第十二篇)：射影空间 中的三次曲面(下篇)
15.代数几何中的曲面专题(第十三篇)：曲面的双有理变换(上)
16.代数几何中的曲面专题(第十四篇)：曲面的双有理变换(下)
17.代数几何中的曲面专题的第十五篇(最终篇)：曲面的分类 & 代数几何曲面专题系列汇总
最后我们还将讨论一下代数几何与其他数学分支的关系 , 交换代数是代数几何的基本语言和逻辑基础 , 交换代数和代数几何很多内容都是对应的 , 许多代数几何中的结果需要借助交换代数中的纯代数结果 . 而在代数数论中我们需要在任意特征基域上处理问题 , 这就要求对复数基域 上的理论赋予新的观点 , 并发展成为算术代数几何 , 其实代数几何还和复流形与拓扑交织在一起构成复几何 .
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