引言:
本节我们将完成整数环的最后一部分内容：以整数环到有理数域的扩充过程为典范研究如何以一个抽象的交换整环为基石构造一个域，而后我们还会证明这个域在同构意义下是唯一的.
4. 从整数到分数：分式域的构造
我们知道体（通常称作除环）是每个非零元都有逆元的无零因子环，于是我们有一个自然而然的问题：
对于任意无零因子环，是否存在除环使得与的子环同构？
在数学中，此类问题被叫做嵌入问题，因此上述问题通常也被表述为是否所有无零因子环都可以嵌入到一个除环当中？长久以来人们都试图给出一个肯定的答案，因为如果这个命题成立，我们就可以在无零因子环上（部分）构建除法. 然而很不幸，这个尝试最终因1936年苏联的一位数学家给出的反例宣告失败.
那么，人们自然回去问：既然无零因子环条件太弱，那么我们加强一下是不是就可以实现这个目标了呢？这个答案虽然我们暂时还不确定，但是摆在面前的就有一个典型的案例：整数环是无零因子环，而有理数域是除环，而且整数环是有理数域的子环！于是我们自然而然去追究的特征，我们发现它是交换整环，也就是说在无零因子环的基础上增加了幺元的存在性和乘法的交换性，考虑到子环是交换的，那么嵌入到的那个环也得是交换环，而交换的除环就是域. 于是我们就猜想
任何一个交换整环都可以嵌入到一个域当中.
这个猜想很自然，而且人们也证明了这个猜想是成立的，这也是我们这一节需要解决的问题. 不过，上面这个条件还是比较强，事实上，可以证明，上面交换整环的条件可以放松到无零因子交换环上，也就是说幺元是不必要的. 因此，本节的核心议题就是证明下述命题：
任何一个无零因子交换环都可以嵌入到一个域当中.
这个猜想是从到的扩充过程中推测出来的，它的证明自然也要参考这个案例：
例4.1: 有理数域可以表示为
在中考虑子环
则，这就表明我们将整数环嵌入到了有理数域当中.
现在我们就来分析上面这个案例. 首先，在上我们有下述规定：
规定4.1.1(相等): 两个有理数和相等，当且仅当.
规定4.1.2(加法): 两个有理数和的和规定为.
规定4.1.3(乘法): 两个有理数和的积规定为.
这里的规定是有启发意义的，因为我们实际上将有理数的运算转换成了整数的运算. 为了更清楚地说明这一点，我们将有理数记作，则上面的三个规定就可以改写为
出现在上面式子当中的是整数环上的相等，是整数环上的加法和乘法，于是我们其实是用整数环构造的有理数域！构造的方式就是不再考虑单个整数，而是考虑一对整数. 这也是我们后面构造的基本思路. 不过，为了说明上述构造的合理性，我们还必须证明上面定义的加法和乘法是合理的，具体地，我们要证明上面定义的相等关于定义的加法和乘法成同余关系，即
引理4.2: 设是无零因子交换环，在上规定当且仅当，并规定
则是上的等价关系，并且进一步关于和成同余关系，即若， ，就有
证: 首先我们要证明这是等价关系，也就是要证明（1）自反性，即；（2）对称性，即若则；（3）传递性， 即若且，则.
（1）自反性. 这是显然的，因为这是交换环，于是；
（2）对称性. 这也是显然的，因为，于是，利用交换性，就有，这就是说.
（3）传递性. 这个稍微麻烦一点，不过也不难. 因为，，我们就有
于是
注意是无零因子环，根据构造，，因此如果, 则，进而，这导致; 如果，则上面的式子成立必须有，于是. 因此无论如何，我们总是有，此即.
这样我们就证明了是一个等价关系，接下来我们再证明它关于加法和乘法是同余关系.
根据已知，我们有和，由于
令, , , , 则我们需要证明，即证，这只要直接计算即可：
类似地，要证明第二个命题，则只要证明，即证明，也就是要证明，这个由已知的那两个等式左右相乘即可得到.
可以看到，在证明是等价关系的时候交换性和无零因子这两个条件都用到了，而证明同余的时候则用到了交换性. 因此无零因子交换环这个条件是不能缺少的.
引理4.2首先告诉我们是上的等价关系，因此我们就可以考虑由它诱导出来的商集合，而我们又证明了关于定义的加法和乘法是同余的，因此我们可以自然地在上构造加法和乘法如下：
这里是的等价类，也就是商集合中的元素. 为了和有理数比照，我们将等价类换个记号：
也就是将等价类的标志符号（即那个横杠）挪到两个元素之间，并将原本水平排列的两个元素改成竖直排列.
我们知道有理数域当中，自然地，我们猜想对于商集合我们也有类似关系式：
引理4.3: 上文定义的商集合满足对于任意，有，称其为约分法则.
证：注意到对于交换环而言我们有，于是，这也就是说，这就是我们要证明的关系式.
由约分法则我们可以立刻得到在有理数运算中一个很常用的结论：
推论4.3.1: .
证: 根据定义我们就有，根据约分法则我们就有，这就是我们要证明的结论.
我们知道当取的时候上面构造的商集合，而是域，那么我们自然想知道上面构造的是不是域？答案自然是肯定的：
定理4.4: 上文定义的商集合关于定义的加法和乘法构成域，即是Abel群，是Abel群.
证: （1）是Abel群.
（1.1）对封闭. 若，则，由于是无零因子交换环，于是且，也就是说.
（1.2）满足结合律. 设, 则
（1.3）存在零元，因为对于任意的，都有
这里我们用到引理4.2给出约分法则，因为这里. 另外，从这里可以看到.
(1.4) 对每个元素，我们有逆元，因为
而就是的零元.
（1.5）对任意两个元素和，我们有交换律成立：
（2）是Abel群.
（2.1）首先在上封闭且满足交换律，因为意味着， 于是，进而. 注意到，我们顺便就证明了交换律.
（2.2）在上满足结合律，因为和都等于.
（2.3）在上有单位元，因为对于任意的，根据约分法则我们有.
（2.4）对任意有逆元，因为，根据（2.3），就是中的单位元.
结合（1）和（2），我们就证明了关于和构成域.
至此，仿照整数构造分数的过程我们就从一个无零因子交换环出发构造出来了一个域，但是我们还需要证明可以嵌入到当中. 在整数环中我们是通过形如的元素来构造同构的那个环的，现在我们考察的环不一定有幺元，因此自然不能用这种方式来构造与同构的那个环. 不过这并不构成本质困难，因为我们知道对任意成立，而后者没有用到幺元，这启发我们用形如的中元素构造与同构的环.
定理4.5: 设为前面由无零因子交换环构造出来的域，记
则, 同构映射为
证: 这很容易就能证明，显然是满射，要证明它是单射也很容易: 若，则有
于是根据推论4.3.1我们就有
于是得到，因为，此时必须有，于是，这样我们就证明了它是单射，进而它是双射.
接下来我们只需要证明它对加法和乘法还是同态映射即可. 我们需要用到约分法则引理4.3与它的推论，也就是推论4.3.1：
在证明加法的同态性的时候第三个等号用到了推论4.3.1，乘法同态性证明的第二个等号我们用到了约分法则.
既然和是同构的，我们就证明了最开始的那个命题：任意一个无零因子交换环都可以嵌入到一个域当中，因为这个域我们是通过类似构造分数的方式进行构造的，因此这个域被叫做分式域. 至此，我们就完成了分式域的构造. 然而，上述过程是构造性的，缺少一定的抽象性，因此不方便进一步地推广，因此我们换个方式来对它进行表达.
还是上面这段话的第一句，既然和是同构的，那么我们就可以不去区分和，此时我们就可以直接说无零因子交换环是域的子环，这么一表述和就都是已知的了，接下来我们就要用它们上面的运算表示彼此. 正如上面的构造所体现出来的精神，我们要用中的元素来构造中的元素，注意到对于任意的，我们都有
这里需要注意一下，因为此时作为中的元素是有逆的，因此上述操作是合理的. 如果我们现在记, 则我们就找到和使得，这个和前面的精神是一致的：用环中的一对元素去构造域中的元素，我们可以将这个表述作为分式域的抽象表述：
定义4.6(分式域): 如果一个无零因子交换环是一个域的子环，并且对于任意的，存在且使得，则称是的分式域.
值得注意的是，前文给出的构造过程是用环中的运算去表示域中的运算，但是上面的定义却是反过来的，即用域中的运算去表示环中的运算. 但是它们的精神都是一致的，都是去用已知表示未知. 不过，这种改写是有代价的，也就是说当我们采用上述方式来定义分式域的时候就必须首先去证明它的存在性，不过我们上面其实已经给出了具体的构造方式，即对任意的取和即可，因此我们立刻得到
推论4.6.1: 任意无零因子交换环一定存在分式域.
这样做还有一个问题，那就是我们构造的域确实满足分式域的定义，但是不见得所有的分式域都是这样构造的！我们最好还能够证明所有的分式域一定和我们构造的那个域同构，于是我们就不需要再去找更多的构造方式了. 考虑到在定义中我们直接给出了域，我们接下来需要证明这个域是唯一的即可，事实上，我们有
定理4.7: 无零因子交换环的分式域是包含的最小的域，因而是唯一的.
证: 我们设是任何一个包含的域，令，接下来我们证明是的子域. 注意到对于任意的, 我们有
这个只要在两边同时乘以即可得到证明. 因为是的子环，因此，，于是对减法封闭，这意味着是的子环. 另外，对于任意的，我们有
因此对乘法封闭，进而它构成的子群（这是子群的判定定理）. 既是的子环又是的子群，于是是的子域. 而根据定义，我们知道是的子集，且也是一个域，从而是的子域. 于是我们得到一个子域序列. 这表明分式域是包含的最小的域. 既然是最小的域，如果和都是的分式域，则且，从而，这就证明了分式域的唯一性.
既然是分式域是唯一的，那么我们前面给出的构造就具有很高的价值了，给定一个无零因子交换环，我们都可以通过前面的构造给出它的分式域. 另外，作为一个推论，假定两个无零因子交换环是同构的，同构映射为，的分式域为，的分式域为，那么和必然也是同构的，同构映射我们可以这样取：
考虑到前面的构造我们其实本身就是在同构意义下进行构造的，因此这个结论是直接推论. 当然使用上面的这个映射逐步去验证也是可以的，这我们就不去进行了. 将这个命题总结一下，我们就有
定理4.8: 同构的无零因子交换环的分式域也是同构的.
看到这个命题我们立刻想知道这个命题的否命题是不是也成立？即是不是不同构的无零因子交换环的分式域也是不同构的呢？答案是否定的：
例4.9: 整数环的理想当的时候和不是同构的，但是依旧是无零因子交换环，因此存在分式域，并且它的分式域同构于
对于任意的, 存在使得，于是中的元素也可以表示为，换言之，
不过需要注意一点，这里中的分数线不是有理数中的那个除法，因此不能直接约掉. 不过我们可以构造映射
显然这个映射是满射，单射性也很容易证明，因为意味着，即，于是就有，这其实就是在说. 环同态的验证和前面的一些证明过程没有什么区别，这里就略去了.
总之，我们看到，虽然和在的时候不是环同构，但是它们的分式域却是同构的.
至此，我们就将以整数环为基础的环的相关理论介绍完了，当然，按照传统这里还少介绍了同余方程与同余方程组的求解（即中国剩余定理），不过这个内容比较麻烦，而且也不属于主干知识，因此我就不写了. 下一节我们就用前面给出的环的相关理论去研究多项式环，这也是环论最为关心的一类环.
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