在上一部分我们以整数环为研究的出发点, 将它上面的一系列优秀的性质推广到一般, 得到了欧几里得环、主理想整环与唯一析因环, 在这一部分, 我们将会看到这三个环的另一个典型模型: 一元多项式. 我们首先讲述一元多项式的基本理论, 然后讲述一元多项式环的两个常见特例. 最后我们将一元多项式推广到多元多项式, 并且关注多元多项式当中的一个很重要的概念: 对称多项式.
1. 从环的扩张开始说起
在本系列第二讲中我们曾经给出了一个关于环的扩张的定理:
引理1.1(环的扩张定理): 设是环, 且存在一个环的单同态, 则存在环和环同构使得是的环扩张, 且.
我们主要是根据下图来证明这个命题的:
具体地说, 假设我们有一个小的环和一个大的环, 如果可以通过单同态的方式将嵌入到当中, 我们就可以通过将替换成得到一个和原本的同构的环, 这个环就是原本的小环的一个环扩张. 并且这个环扩张伴随着一个同态映射的扩张.
引理1.1给我们提供了一种将小环变成大环的可能性. 现在让我们回归到环扩张的本意上来, 如果我们将一个小环扩张成了大环, 那么必然至少存在一个. 于是问题来了, 包含的最小的环(记作)是怎么样的? 回答这个问题的思路和构造生成理想的思路是一致的, 关键就是利用环对加法和乘法的封闭性. 显然, , 于是的自乘必须也在当中, 自加必须也在当中. 另外, 任意的在当中, 由于本身就关于乘法封闭, 于是我们不必再要求的自乘, 互乘也在当中. 考虑到对于任意的整数, , 有, 的自加与中元素的乘法等都可以通过的方式予以解决, 于是这个情况是不用单独拿出来考虑的. 总结上面的情况, 对于任意的, 它必然能够写成下列形式之一:
(1) 中的元素, 即;
(2) 的自乘, 即存在某个正整数使得;
(3) 的自加, 即存在某个整数使得;
(4) 的自乘和中元素的互乘, 即存在和正整数使得, 或或者;
(5) 上述(4)种情况的加和, , 这里是一些整数, , 是当中的元素序列.
于是, 只要我们把具有上述形式的所有元素的集合都并起来就能得到的形状. 不过我们可以看到这样的实在是太复杂了, 不方便研究. 因此, 通常我们要求和都是交换幺环, 并且它们的幺元相同. 这样的要求根据引理1.1是可以实现的, 因为同态映射总是将零元映射成零元, 将幺元映射为幺元, 因此扩张前和扩张后的的零元和幺元是一样的.
在这样要求以后, 我们看到的自加可以表述为
因为而是环, 因此的自加也在当中, 于是存在使得, 进而自加可以表示为的样子. 因为幺元相同, 在当中我们取即可得到, 于是的自乘也可以通过的方式得到. 而的自乘和中元素的互乘通过交换性可以统一用的方式予以表示. 于是, 前面所述情况(5)可以最后简化为
的样子. 如果我们人为规定, 则可以将其写成, 取值从开始, 到某个正整数为止. 特别注意一点, 在环的定义当中, 我们要求推出, 因此环中元素的加法都是有限的, 不需要考虑取极限的情况. 任意的都在当中, 且任意的中元素也可以表示成的样子, 因为我们只要让某个非零, 剩下的都取零就可以得到这一项, 而前面的论述中已经指明它可以表示(1), (2), (3), (4)中的任意一种情况. 至此, 我们得到一个概念:
定义1.2(交换幺环上添加元素得到的环): 设是交换幺环, 是它的扩环, , 则称
为在中添加元素所得到的环, 称为中某个元素的项, 为这一项的系数, 也称作的系数.
从构造的过程中我们就可以看到, 如果一个环包含, 那么通过封闭性构造出来的元素(也就是中的元素)必须在这个环当中, 这也就意味着包含, 于是我们看得到是包含的最小的环. 这也是定义的一种方式. 另外, 在更一般的定义当中, 我们其实不强制要求, 不过这种情况下和和没有区别, 我们这里的定义希望排除这种情况, 这也符合"添加"一词的直观含义.
我们如果将当中的视作是一些向量, 那么当中的元素就可以视作是这些向量的"线性组合". 于是仿照线性代数当中的说法, 我们可以引入一些说法:
定义1.3(代数元与超越元): 设交换幺环是交换幺环的子环, 且它们拥有相同的幺元, , 若存在中的元素(其中至少某个)使得, 则称是上的代数元, 否则称其为上的超越元.
从定义中即可看到, 必然是代数元, 因为我们总是可以取使得. 因此在讨论代数元与超越元的时候, 我们通常只是在当中考虑, 于是, 在上可以通过添加代数元或超越元可以生成环. 如果借用前文所述"线性相关"的说法, 我们可以看到是代数元就是在说对某个是"线性相关"的, 而是超越元意味着对于任意的, 向量都是"线性无关"的. 对于代数元, 我们还能额外引入一个概念代数元的次数, 符号为, 定义如下:
也就是说使得代数元的幂次线性相关的最小的. 根据定义, 当且仅当, 因为不存在非零的使得. 另外, 如果, 则我们总是可以找到使得, 于是
但是反过来未必成立. 比如说但是, 不过我们可以找到和使得, 于是但是. 必须强调一下, 代数元和超越元都是相对于某个环而言的, 在一个环上的代数元可能是另一个环的超越元, 并且即便都是代数元, 它们的次数也不见得一样.
例1.4: 考虑虚数单位, 显然. 而, 且当且仅当, 于是. 但是在复数域当中, 因此必然有. 这就表明同样是代数元, 环不同则代数元的次数不见得相同.
接下来我们考虑, 可以证明对当且仅当, 因此是有理数环上的超越元, 但是因此.
还有一件事, 超越元有时候也被叫做不定元. 有了上述铺垫之后, 我们就可以定义一元多项式了:
定义1.5(一元多项式环与一元多项式): 设是交换幺环上的不定元, 则称为上的一元多项式环, 它里面的元素被叫做一元多项式.
我们之所以要求是不定元, 主要是因为我们希望得到下面的一个结论:
定理1.6: 设是交换幺环上的一元多项式环, 和, 则当且仅当对任意成立且当之后必须恒有(如果)或者(如果).
证: 这其实只要用到作为不定元给出的对任意都是"线性无关"的这个性质. 不妨设, 则等价于, 这就等价于
而根据不定元的要求, 此时必须有
这就表明自开始(包括它自身)后续的都是零, 且前面的项恒有.
熟悉线性代数的读者自然知道, 线性无关对于很多命题的证明多么重要. 如果我们不对做要求, 那么两个多项式的相等关系就很难建立起来, 这研究起来可就太难了. 在定义当中, 我们要求每个多项式都可以写成的样子, 这里的是不固定的, 在上面的定理中我们其实也看到了两个相等的多项式可以相差任意个零系数因子, 为了排除这种情况, 我们通常这样做: 首先, 将当中的任意元素写成
但是我们要求至多有有限个是非零的, 换言之, 必然存在某个使得之后恒有. 我们将这个称作多项式的次数, 记作, 并将称作次多项式, 在不强调不定元的时候我们会简单将其记作. 接下来我们约定: 如果一个多项式写成了的样子,在不进行额外声明的情况下我们默认. 我们将当中次多项式的全体记作, 即
值得注意的是, , 因此也是一个多项式, 我们称其为零多项式, 显然, 对于任意的, 总有, 面对这种情况, 我们有两种选择: (1) 不对零多项式定义次数, 于是这个映射是从映到. (2) 补充定义. 于是这个映射是从映到. 我们这里采用第二种选择. 在交换代数当中, 有时候我们会先定义, 然后用的直和来定义:
不过此时的要被视作一个维线性空间(更准确地说, 一个维的模, 这在本系列的最后一节会稍加介绍), 于是. 目前我们不采用这个观点来看待. 由于一元多项式环本身也是一个交换幺环, 于是我们借助环加法的分配律和结合律可以很快得到它上面加法和乘法的定义, 首先是加法:
然后是乘法:
按照前面所述, 这里我们要求最多有限项是非零的.
现在有一个问题, 当我们谈到的时候必须同时存在的扩环, 于是一个首要的问题就是对于任意的交换幺环, 是不是存在的问题. 这是的存在性, 有了存在性之后我们还得确定的唯一性, 显然, 如果均为的不定元, 则和是不同的, 它们必然存在不相交的部分(因为至少). 于是我们必须在同构意义下思考, 即是不是在同构意义下是唯一的. 这就是本节我们需要关心的核心问题.
从定理1.6出发, 我们看到两个多项式相同, 当且仅当它们的系数完全相同, 因此多项式的核心其实应该落在它们的系数之上. 这就给了我们一个思路:
当中的每个多项式都可以用其系数予以表示, 而根据前面的叙述, 我们知道当中的多项式还可以表示为无穷和, 但是至多有限项的系数是非零的, 显然是的笛卡尔积当中的元素, 这就提醒我们可以从出发在它的笛卡尔积的子集上定义加法和乘法使之成环, 然后到上有一个自然的单射, 这里省略号都是, 然后我们想办法让这个单射变成单同态, 于是利用引理1.1我们就可以将扩张成, 然后我们在上找到的超越元, 然后利用扩张得到的同构将映到当中使其成为的超越元. 这样一来我们就可以定义了.
接下来我们就来根据这个思路来进行证明:
定理1.7: 对于任意交换幺环, 都存在扩环和不定元. 也就是说任意可环幺环上都可以定义一元多项式环.
证: 我们考虑上的子集合
然后在上定义自然的加法:
但是乘法不定义成为对应元素相乘, 因为这样做无法使其变成环. 我们未卜先知一下, 因为多项式乘法要求
于是多项式乘法中要求的系数为, 于是我们要求
其中
我们接下来证明这样定义加法和乘法确实可以让变成一个交换幺环. 这就要求验证是交换群, 是交换幺半群. 当然, 我们首先要证明对加法和乘法是封闭的.
方便起见, 我们将当中的元素记作, 根据要求, 的分量中至多有限个元素是非零的, 于是一定存在某个使得, 但是对任意成立, 我们用来表示这个. 显然, 是有限的, 因此对加法封闭. 如果我们设, 于是. 对于任意的, 总有
这意味着, 也是有限的, 因此对乘法也是封闭的.
因为加法直接是对应元素之和, 由于是交换幺环, 因此对加法继承的加法的所有性质, 即是交换群. 但是乘法比较复杂, 不是直接继承的, 所以我们要额外验证结合律、幺元和交换律. 首先是幺元, 我们取, 则对于任意的, 设, 则对任意的总有
因为, 而. 这就意味着恒成立, 因此这里定义的就是的幺元. 接下来我们证明交换律, 设, , 则对于任意的, 我们有
这就表明. 最后是结合律. 我们设, . 则对于任意的, 都有
比较一下即可得到, 这就证明了结合律. 综上所述, 确实构成了一个环. 接下来我们考虑单射
显然. 接下来我们设, 则, 当的时候就有
因此. 于是我们看到构成到的一个单同态. 于是根据引理1.1, 我们可以取
使得是的扩环, 并且将扩张成同构映射. 现在我们考虑这个元素, 显然, 我们现在来证明这是不定元. 令, 因为, 因此我们只需考虑即可, 显然, , , 于是. 于是我们猜想的系数只有, 其余的系数均为零. 这个用数学归纳法即可, 我们已经验证了和. 假设对于命题成立, 则对于, 我们有, 进而. 而
当的时候, 就有
于是我们证明了对于仍旧有成立. 现在我们知道对于任意的, 它与的乘积的第项都满足
于是如果, 就有, 否则. 这也就是说与的乘积除了项为以外剩下的项均为. 结合, 我们可以得到
显然, 它要等于当且仅当, 这也就是说必须有. 这表明是上的不定元, 而和通过成为同构映射, 进而也就是上的不定元. 不仅如此, 注意到且对于任意中元素,如果, 则我们可以将其写成的样子, 它和相同, 于是, 这意味着, 进而. 这表明我们通过上述构造扩张的环其实就是上的一元多项式环. 这不足为奇, 因为我们就是按照一元多项式环的样子进行构造的.
接下来我们需要证明交换幺环上的一元多项式环是唯一的, 换言之, 如果是交换幺环的子环, 且二者幺元相同, 且有均为上的不定元, 则. 这个结果几乎是显然的, 因为中的元素不外乎写成, 中元素不外乎写成. 而我们前面已经看到, 多项式的核心在于它的系数, 这里的不定元到底取谁无所谓. 但是话是这样说, 我们还是需要将这个思想予以严格证明的. 我们需要一个手段将中的元素映为, 然后我们得证明它确实是同构映射. 为了方便后续内容, 我们先证明一个和引理1.1极为相似的命题:
定理1.8: 设是交换幺环, 它们的幺元分别为, 并且存在环同态使得, 是上的一个一元多项式环, 则对于任意的, 存在的唯一一个同态扩张使得.
注: 环同态满足, 于是, 换言之环同态可以将零元映为零元. 但是环同态未必将幺元映为幺元, 因为只能给出, 只有对于无零因子环我们才能直接推出. 因此该引理当中这个条件是必须单独拿出来说明的, 而不能视作是为环同态的推论.
证: 我们首先证明其存在性, 为此我们只需构造出一个环同态使得它是的扩张并满足即可. 我们反过来推理, 假定是满足这些条件的映射, 则对于任意的, 注意到, 可以视作是零次多项式与次多项式的乘积, 因此可以利用环同态拆写成. 而是一个一次多项式, 可以视作个一次多项式相乘所得, 于是再次利用环同态可以将写成, 而根据要求为, 于是
现在注意我们要求是的扩张, 而, 因此, 于是
这表明, 如果存在满足要求的, 则必然是将映为上面的, 既然如此, 我们就构造这样的映射:
我们只需证明该映射为的同态扩张且满足即可. 首先是环同态这一点是显然的, 因为将映成上添加所得的环, 尽管后者不一定是多项式环, 但是无论如何, 它们里面的元素的加法和乘法规则都是相同的, 这由交换幺环的性质予以保证. 我们只需证明这是环扩张并满足即可. 我们在上面的定义当中取, 注意同态将零元映为零元, 则有对任意成立, 于是我们就证明了这个是环扩张. 而定义中取, 即, , 于是, 左边为, 右边为. 综上我们就证明了上述定义下是满足的的同态扩张.
接下来是唯一性. 这是显然的, 因为我们上面已经论述了满足条件的下的像必然是.
有了这个结论, 多项式环的唯一性就是水到渠成的了:
推论1.8.1: 设交换幺环上有两个不同的不定元, 则.
证: 首先, 导致我们一定可以通过将嵌入到当中, 而且这个嵌入是同态嵌入, 根据要求, 和的单位元是一样的, 因此, 这就满足定理1.8的条件, 因此对于, 存在唯一一个的同态扩张使得. 我们现在证明这个同态扩张是同构映射. 为此, 我们只需证明它是双射即可. 显然,对于任意的我们都可以找到使得. 这个注意到即可得到. 于是是满射. 接下来我们证明这还是单射. 这个则由定理1.6予以保证, 因为与相等当且仅当且恒成立, 这自然就意味着原本的和相等, 这也就意味着是单的.
让我们重新审视一下上面的这个证明, 我们证明的核心其实是依托到它的扩环上的同态嵌入. 显然, 如果是的扩环, 那么我们同样可以给出的同态嵌入, 注意是同态, 而且可以扩张到的扩环上, 那么我们自然有个问题, 作为包含的最小扩环和更一般的扩环之间有没有什么深入的联系呢? 让我们仿照推论1.8.1的做法考虑同态嵌入, 然后对于里面的任意元素考虑的扩张. 示意图如下所示:
注意一下, 是同态, 于是根据环的同态基本定理我们知道是的理想, 并且与是同构的, 而根据前面的构造我们知道里面的元素恰好就是在上添加得到的环, 因此我们看到. 需要注意的是是一元多项式环, 因此是不定元. 但是是我们在上随便挑的, 因此它可能是代数元也有可能是不定元, 如果是不定元, 则我们知道, 于是就有, 这表明这个理想有一定的特殊性, 我们知道如果, 即它是零理想, 则这个结论成立. 于是我们自然猜想是代数元还是不定元和有关, 这就是下述命题:
推论1.8.2: 设交换幺环是交换幺环的扩环且有相同幺元素, 是上的一个不定元. 则对于任意, 存在的理想使得, 这里, 并且当且仅当时是上的不定元.
证: 根据上面的叙述, 我们已经看到只要取到上的嵌入映射, 然后对我们就可以将扩张成. 然后我们取, 而的像集就是, 于是环的同态基本定理就给出. 接下来我们只要证明和是上的不定元当且仅当即可.
(1) .
因为是嵌入映射, 这个映射是单射, 因此. 考虑到, 因此, 而意味着的同态核当中属于的那些, 换言之, 这就表明.
(2) 为上不定元当且仅当.
我们只要证明当且仅当为上的代数元即可, 而为上的代数元当且仅当存在不全为零的系数使得. 这又等价于存在非零多项式使得, 这等价于. 这就表明里面有非零多项式,即不是零理想. 上述推理过程都是充要的, 于是我们得到为上代数元当且仅当是非零理想.
上述推论让我们直觉上感到上的代数元与上的一个非零理想可能有关系, 不过这个信念证据还不够强, 假定我们还能证明上代数元与非零理想的其他关系, 这个信念就可以得到强化. 事实上, 我们将上面这个命题稍作改写就能得到一个加强信念:
推论1.8.3: 设是交换幺环, 是上的一元多项式环. 若存在上的理想满足(1) ; (2) . 则存在上的代数元使得 .
证: 既然是要证明同构, 我们自然考虑环的同态基本定理. 于是我们首先要找到的一个同态. 我们总是有一个先天的同态: 自然同态. 自然同态的同态核我们知道就是, 即. 接下来我们把限制在上得到,则, 根据已知条件我们知道, 于是映射是单射, 进而是同构映射, 我们记. 然后我们令, 注意到, 于是存在非零多项式, 注意到是理想当中的元素, 它是的同态核, 于是, 注意到, 作为同构映射, 将非零元映为非零元, 于是不全为零, 因此我们看到是上的代数元.
现在让我们回到自然同态上来, 自然同态是满同态, 即, 对于任意的, 我们都有
于是所有的都具有中多项式的样子, 于是, 另一方面, 对于任意的当中元素, 我们都可以找到前面的使的像就是这个元素, 于是, 于是我们看到. 这就表明. 考虑到, 通过同构我们可以找到使得, 于是, 最后我们就证明了存在代数元使得.
从推论1.8.2和推论1.8.3我们即可强化前面的信念:
可环幺环上的代数元与上一元多项式环里面的非零理想有着密切关系.
这个观点有什么意义呢? 我们回忆一下多项式的根的含义: 设是多项式函数, 如果就称是多项式函数的根. 我们看到, 根一定是代数元. 于是根和代数元就有了密切联系, 进而我们看到根和非零理想有关系. 于是这个观点可能能够帮助我们理解多项式的根有关的问题. 这个我们会在下一节中予以论述.
在本节的最后一部分,我们给出一元多项式上的一些基本结论, 主要是关于两个多项式的乘法, 这些性质其实在证明一元多项式环的存在性的时候我们就已经得到差不多的结果了.
性质1.9: 设是交换幺环上的一元多项式环, , 则. 即多项式乘积的次数等于它们各自次数之和.
证: 如果中有一个是零多项式, 则也是零多项式, 于是等式左边是, 右边是与有限值或者的和, 依旧是, 于是命题成立. 于是接下来我们假设. 令, , 不失一般性令. 则存在使得
我们设, 且, 于是我们只要证明即可. 具体地, 我们只要证明且对任意成立即可. 根据前文叙述,我们知道
当的时候, 只有可能是且, 因为当的时候必须有, 而此时的恒为零, 当的时候恒有. 于是必须有, 进而. 因此
注意到的时候必有和, 于是
上式中的所有均为零, 因为, 于是当的时候必然大于. 从而我们看到, 对所有成立.
在上面的推理过程中我们也看到一个结论: , 这个结果很简洁. 事实上, 的解也很简单, 必然是, 于是我们也看到. 这两个结果非常有用, 我们把它们也单独拿出来:
性质1.9.1: 两个多项式乘积的最高次项系数与零次项系数等于它们各自最高项系数(零次项系数)的乘积.
在多项式理论当中, 最高次项也被叫做首项, 零次项也被叫做常数项, 因此上述命题有时候也被表述为多项式乘积的首项是各个多项式首项的乘积,乘积的常数项是各个多项式常数项的乘积. 首项系数为的多项式在除环上的多项式理论中地位很高, 我们把它叫做首一多项式. 根据推论1.9.1, 我们立刻看到
性质1.9.2: 首一多项式乘积还是首一多项式.
性质1.9叙述了多项式相乘后次数的关系, 当然我们还得关注多项式相加后次数的关系. 沿用上面的符号, 我们依旧取, 且, 并取的首项系数为, 的首项系数为. 然后令. 我们关注这里的是多少. 显然, 当的时候, , 于是. 而, 如果, 则, 从而. 但是当的时候, 由于有可能相加为, 于是可能为零. 综上所述, 我们看到:
性质1.10: 设, 这里是交换幺环上的一元多项式环. 则, 且时必然取等号, 时可能取等号.
最后, 我们还有一个具有基础性地位的性质, 这个性质是下一讲内容成立的基础.
性质1.11: 若是交换整环, 则也是交换整环, 且的单位就是的单位.
证: 我们考虑映射, 它将中的元素映到, 即给出首项系数. 首先是交换环从定义即可看出, 而且中的幺元就可以看作是的幺元. 要证明是交换整环只需证明是无零因子环即可. 根据性质1.9.1, 我们有, 于是如果, 则必须有, 因为是无零因子的, 而, 于是我们看到此时必须有, 这就表明, 这也就表明是无零因子环. 接下来我们证明的单位群和的单位群是一样的.
设是单位, 则, 则必须有, 根据性质1.9, 我们就有, 显然. 由于是自然数, 它们和为当且仅当. 这表明均为零次多项式, 即, 结合可知. 此即. 反过来, 如果, 则必然也有且, 于是, 此即. 结合这两点我们就看到.
因为和的单位群相同, 我们就不对它们的符号进行区分, 只用即可.
根据性质1.11, 交换整环上添加元素所得的环依旧是交换整环, 自然交换整环上的一元多项式环也是交换整环. 于是我们就可以使用上一节基于交换整环引入的Euclid环, 主理想整环, 唯一析因环的理论来研究交换整环上的一元多项式环的相关性质. 不过一般的研究起来还不是很方便, 我们主要关注两个特例: (1) 域上的一元多项式环; (2) 唯一析因环上的一元多项式环. 这就是接下来我们需要回答的问题.
您的点赞与关注是我们坚持不懈的动力 (点开名片进行关注）：
由于微信平台算法改版，公号内容将不再以时间排序展示，如果您想第一时间看到我的推送，强烈建议星标我的公众号。星标具体步骤为：在公众号主页点击右上角的小点点，在弹出页面点击“设为星标”，就可以啦。感谢您的支持！
