上一篇中, 我们从整数环的带余除法出发首先推广得到了欧几里得环(ED), 在ED中我们发现任意两个非零元的最大公因子存在, 并且通过辗转相除法我们可以得到的具体表达式. 我们发现在ED当中裴蜀定理成立, 即存在使得. 接下来我们以裴蜀定理成立为目标, 构造出了一个使得裴蜀定理成立的环: 主理想整环(PID).

 我们已经认识到ED是PID, 它们都是最大公因子整环的一类. 那么我们能否找到覆盖范围更广的环使得PID也是它的特例, 并且它也是最大公因子整环呢? 答案是肯定的, 在本节我们就将从整数的唯一分解定理(算术基本定理)出发构造一个更大的最大公因子整环: 唯一析因环(或者称作唯一分解环)UFD.

3. 从整数的唯一分解定理到唯一析因环

 在对正整数结构的研究中, 人们发现(正)素数, 也就是只有和它自身为因数的大于的正整数有着重要的性质. 而素数的重要性在前面的一些结论当中也有所体现, 比如说是域当且仅当是素数; 无零因子环的特征要么是素数要么是; 循环群必然是单群等等. 算术基本定理可以说是素数重要性最为集中的体现了:

定理3.1(算术基本定理): 任何一个大于的自然数可以分解为一些素数的乘积, 并且在不计次序的情况下这种分解是唯一的. 或者说, 设且, 则(1)存在素数使得; (2) 若存在两个分解和, 则, 且每个都能找到使得, 反之亦然. 或者说存在一个阶置换使得.

证: 为了证明这个定理, 我们需要首先证明一个引理:

引理3.2(欧几里得引理): 若是素数且, 则或者.

证: 若则证明完毕. 若, 则互素, 于是. 根据裴蜀定理, 存在整数使得.  于是. 因为, 于是. 而显然, 于是, 即. 

(1) 用反证法. 假设存在大于的自然数不能写成素数的乘积, 设是满足该条件的自然数中最小的一个.

 若是素数, 则可以写成一个素数的乘积, 与假设不符. 因此必然是合数, 既然是合数, 则可以分解为两个自然数的乘积, 不妨设, 这里. 因为是不能写成素数乘积的自然数中最小的一个, 因此都可以分解为素数的乘积, 于是也被分解为素数的乘积. 这与假设矛盾! 于是假设不成立. 即每个大于的自然数都可以写成素数的乘积.

(2) 若是质数, 则它的分解有且仅有这一种情况, 满足唯一性. 因此接下来设是合数. 设的任意两种分解分别为和. 则. 于是. 根据欧几里得引理, 我们知道至少整除中的一个, 我们就让它整除, 即, 这里是某个置换. 因为均为素数, 的非因子只有可能是它自己, 因此.  因为整数环是无零因子环, 消去律成立. 因此我们有. 同样的手段我们可以让是整除的那个素数, 然后得到 . 以此类推, 若, 则我们一直可以得到. 利用消去律最后给出, 因为这是无零因子环, 这个结果要成立当且仅当, 这不可能! 同理, 也不可能. 于是. 于是我们知道存在某个阶置换使得成立. 

 算术基本定理是针对非正整数而言的, 如果我们希望将其推广到一般的整数环上, 就必须对一些概念进行重新定义. 比如说证明过程中居于核心地位的概念: 素数. 当我们考虑整数环的时候, 一个正整数上的素数存在因子. 因此我们不能将素数定义为因子只有和它自身的数. 我们必须找到素数不依赖于具体的因子的选择的等价定义方式, 然后将其推广到一般情况. 一个最为直接的想法就是用只用整除这个概念进行定义. 恰好, 我们在上面的证明过程中指出素数具有的一个基本性质, 也就是欧几里得引理, 我们不由地问, 这个引理的逆命题成立吗? 如果成立, 我们是不是就可以用欧几里得引理的逆命题来定义素数了? 答案是肯定的:

定理3.3: 是素数当且仅当对于任意若就有或.

证: 必要性就是前文给出的欧几里得引理. 因此我们只需要再证明充分性.

 我们用反证法来证明这一点. 假设是合数, 则存在自然数满足使得. 于是我们看到. 但是和哪个都不成立. 因此假设错误, 即必须是素数. 

 定理3.3是很关键的, 因为这个命题给出了素数的本质特征, 这个特征无需强调它的因子到底是什么, 我们只考虑性质

成立的那些自然数即可. 现在我们还残留一个问题, 那就是在一般的环当中, 我们没有序关系, 因此无法通过类似于这样的方式来限定的取值范围. 这就要求我们思考这里的目的.

 首先我们必须注意到, 在定理3.3当中我们考虑的首先是从自然数当中考虑的, 然后我们要求其实就是排除了两个元素. 元素是环中加法的单位元, 是环中乘法的幺元. 从素数的等价命题中我们似乎看不到排除它们两个的原因: 整除所有数, 而若则中至少有一个是, 于是其实满足上面的性质. 真实原因我们还是得回归到算术基本定理上来: 如果我们纳入, 则的素因数分解有无穷多种; 如果我们纳入, 则素因数分解可以相差任意有限多个, 比如和都是分解, 这也丧失了素因数分解的唯一性.

 通过上面的讨论, 我们看到素数定义中排除的关键因素就在于纳入这两个元素作为素数之后, 我们就失去了素因数分解的唯一性! 这提醒我们在对素数的概念进行推广的时候应该考虑到这一点. 显然, 素数的定义推广之后必须在上和原来的定义是一致的. 于是我们首先要从中排除, 考虑. 然后我们要排除, 这是幺元, 我们可以乘以任意多个幺元而不改变原有的结果. 那么还有什么元素会有类似地消除唯一性的功能呢? 显然是一种可能, 因为, 我们随意增添偶数个也给出不同的分解! 因此我们应该在中进一步排除. 这里我刻意使用了来表示需要排除的集合, 因为容易看到, 其实就是的单位群, 是里唯二可逆的元素. 更一般地, 是不是对于任意交换整环, 它的单位群都得排除掉呢? 答案是肯定的, 因为如果是一个分解, 那么也是一种分解, 如果我们将单位纳入到素数的推广概念当中, 则我们可以构造无穷多种分解方式!

 综上所述, 在整数环当中, 素数的推广应该是在中考虑那些满足前文给出的性质的元素. 更一般地,

定义3.4(素元素): 设是交换整环, 是它的单位群, 满足对于任意的, 若就有或者, 我们就称是中的素元素, 简称素元.

 现在问题来了, 当我们采用了上述对素元的定义之后, 我们同时丧失了正整数范围内素数的因数只有和它自身的性质. 举个例子, 是中的素数.  因为若, 则是偶数, 我们知道当且仅当中有一个是偶数的情况下才有是偶数, 于是必有或. 另一方面, 根据整除的反自反性我们还知道, 于是根据传递性我们还有或者. 但是的因数有. 类似地, 我们可以证明对于中的任意一个素元, 它的因子都有这四个. 这四个元素其实是有特点的, 是单位群, 而是中与相伴的所有元素. 集合恰好给出了元素的所有平凡因子! 这提醒我们可以将这个性质单独拿出来. 这个性质在数学中有一个专有词予以描述, 为此我们首先看一个使用类似概念的例子:

 在线性代数当中, 设是线性空间, 是上的线性映射, 如果的子空间满足, 我们就将叫做关于的不变子空间. 显然任意一个线性空间对任意线性变换都有两个不变子空间. 这两个不变子空间就被叫做平凡的不变子空间. 显然, 如果是关于的不变子空间, 则我们可以考虑在上的限制, 我们可以进一步研究在下的不变子空间, 如果有非平凡的不变子空间, 则我们可以进一步分割下去, 得到线性映射序列, 每个都只有平凡的不变子空间, 并且对于任意的, 存在唯一的使得

在线性代数当中, 我们就称每个是不可约的. 而不可约这个词特指只有平凡属性的那些对象.

 和之前推广素数概念的理由一致, 当我们考虑那些只有平凡因子的元素的时候也只需要考虑中的元素:

定义3.5(不可约元素): 设是一个交换整环, 是它的单位群, 若只有平凡因子, 我们就称是中的不可约元素, 简称不可约元.

 在实际使用中, 我们有时还会用到不可约元的一个等价叙述:

定理3.6: 设是一个交换整环, 是其单位群, 则是不可约元当且仅当只有平凡的真因子(或者说没有非平凡的真因子).

证: [必要性] 若是不可约元, 则只有平凡因子, 即它的因子要么是单位, 要么是相伴元. 显然相伴元不是真因子. 而单位必然是真因子, 因为如果单位不是真因子, 则且, 于是, 进而也是单位, 这与矛盾. 因此的所有真因子必然是平凡因子.

 [充分性] 设只有平凡的真因子. 因为的因子要么是真因子, 要么是相伴元. 根据假设真因子均为平凡因子, 而相伴元本身也是平凡因子, 因此的所有因子都是平凡因子. 从而是不可约元. 

 从定义可以看到, 素元和不可约元看起来是八竿子打不到一起的, 但是在整数环当中我们有

定理3.7: 在整数环当中, 素元和不可约元等价.

证: [素元是不可约元]: 设是素元, 是的因子, 我们来证明一定是平凡因子.

 因为, 因此存在使得. 从而, 根据素元的定义, 我们有或者.

 (1) 若, 则此时有, 从而是的平凡因子.

 (2) 若, 则存在使得, 从而, 即. 注意整数环是无零因子环, 因此有, 换言之是单位, 从而依旧是的平凡因子.

 综合(1)和(2)可知无论如何都是的平凡因子, 而是的任意因子, 因此的所有因子都是平凡因子, 即是不可约元.

 [不可约元是素元] 这个证明过程和欧几里得引理的证明过程完全一致: 设是不可约元, 且. 若则证明完毕. 若, 则的最大公因数只能是, 否则就可以有且作为其因子, 这个因子是非平凡的. 于是. 而整数环是主理想整环, 有裴蜀定理成立, 于是存在使得. 于是, 因为, 于是. 而显然, 于是, 也就是. 因此我们证明了推出或者. 

 将两个看起来不相关的概念统一到一起其实是很不平凡的. 事实上, 仔细审视上面的证明, 我们看到在证明素元是不可约元的时候我们没有用到整数的任何性质, 而是完全从素元和不可约元的定义出发进行讨论, 因此这个结果具有一般性:

推论3.7.1: 对于交换整环, 它的素元必然是不可约元.

但是当我们证明另一半的时候用到了裴蜀定理, 这个定理并不是对于所有交换整环都成立的! 因此后半部分并不一定对于所有交换整环都成立. 习惯上, 我们将不可约元必然是素元这个命题叫做素性条件. 在定理3.7的证明过程中我们看到, 只要裴蜀定理成立, 则素性条件必然成立, 而我们已经知道主理想整环里面有裴蜀定理, 因此:

推论3.7.2: 主理想整环满足素性条件, 进而欧几里得环也满足素性条件.

 既然我们说素性条件不是平凡的, 那就意味着存在不满足素性条件的交换整环. 下面我们就给出一个反例:

素性条件的反例: 考虑环. 这个环继承了的部分结构, 比如是交换的, 没有零因子, 零元是, 幺元是. 证明它成环和之前证明是类似的, 因此这里就不进行了.  和之前证明是欧几里得环类似, 设, 我们引入范数

显然当且仅当. 另外, 这是我们在上一篇文章中已经证明过的东西.

接下来我们需要寻找的单位群. 因为对于任意的, 都有, 因此我们得到. 注意到是非负整数, 两个非负整数乘积为, 只有可能它们都是, 于是我们得到. 设, 则. 注意到, 这个关系式成立只有可能是且, 于是我们得到, . 这意味着如果, 则只有可能是. 另一方面, 显然是单位, 因此就是的单位群.

于是我们看到. 现在我们证明是不可约元但不是素元.

为此, 设是的一个真因子, 我们来证明只有可能是平凡的真因子(即单位). 因为是的因子, 因此存在使得, 两边取范数就有, 于是. 这有且仅有种情况:

(1) , 于是, 此时是单位, 从而是的平凡真因子;

(2) , 于是, 这个方程无解;

(3) , 即, 这个方程只有解. 此时是的相伴元, 不是真因子.

因此我们看到的真因子均为平凡真因子, 从而是不可约元. 接下来我们证明不是素元. 也就是我们要找到使得但是且. 注意到且, 于是我们有

现在我们来证明. 用反证法. 假设, 则存在使得

两边同时取范数我们就有, 于是, 这意味着. 将其代入上式, 就得到

这显然是错的. 因此假设不成立. 这意味着是不可约元但是不是素元.

 现在让我们将视线重新放回到算术基本定理上来, 我们尝试将这个定理推广到整数环上来. 在定理3.1的叙述当中, 我们考虑的是素数, 但是现在我们返回头审视素数的定义可以发现素数其实是按照不可约元的方式进行定义的, 而且在证明可分解性的时候我们用到了不可约性, 因此在推广到整数环的时候我们应该将素数改为不可约元. 在唯一性的表述当中我们用到了的说法, 这个等号的成立在证明的时候我们归因于且均为素数. 现在我们将均改成了不可约元, 则和之间就只能是互为平凡因子的关系, 于是命题需要对应修改为. 综上, 我们可以合理猜想整数环上的唯一分解定理, 也就是说算术基本定理的推广应该表述为:

定理3.8(整数的唯一分解定理): 任意一个非零非单位整数都可以分解为有限个不可约因子的乘积, 并且在不计次序和每个因子相差一个正负号的情况下这种分解是唯一的. 也就是说对于任意的, 都(1) 存在不可约因子使得且(2) 若有两种分解和, 有且存在一个置换使得.

证: 这个命题的证明过程和定理3.1如出一辙. 区别在于定理3.1当中用到了最小的自然数的说法, 这是导出矛盾的关键. 不过这个问题不大, 因为我们可以让是不存在分解的整数中绝对值最小的一个. 注意到若是的分解, 则和顶多相差一个符号, 我们把这个符号归入到某个当中就得到了的一个分解. 于是定理3.1中(1)的证明就是这里(1)的证明. 而(2)的证明则是完全一致的, 因为根据推论3.7.1, 整数环满足素性条件, 这正好就是定理3.1当中我们证明的欧几里得引理, 因此直接照搬证明然后将且为素数导出的结论改成且均为不可约元, 于是是的平凡因子, 而根据定义从而必然有即可得到证明. 更完整的证明我们在下文给出唯一析因环的判定定理的时候给出(参见定理3.11的证明). 

 我们将上面定理表述当中提到的"对于任意存在不可约因子使得"这个命题称作有限析因条件. 而将"若有两种分解和, 有且存在一个置换使得"这个命题称作唯一析因条件. 正如我们之前从整数的带余除法定理引出欧几里得环一样, 我们将唯一分解定理成立的环也给了一个专有名词:

定义3.9(唯一析因环): 若交换整环同时满足有限析因条件和唯一析因条件, 则称其为唯一析因环.

 唯一析因环有两个重要的性质, 它们从不同侧面刻画了唯一析因环的特性:

性质3.10: 唯一析因环满足素性条件.

证: 也就是说我们要证明唯一析因环里面不可约元是素元.

 我们设是唯一析因环中的不可约元, 并设. 则存在使得. 接下来我们证明或者.

 因为, 因此不可能为零. 而若中有一个是单位, 不妨取, 则, 从而成立. 接下来我们只需要考虑的情况. 显然此时. 事实上, 也不是单位. 因为假设是单位, 则也是不可约元, 但是它写成了两个非单位的元素的乘积, 拥有非平凡的真因子, 这与是不可约元矛盾. 因此此时. 因为是唯一析因环, 存在不可约元素, 和使得

于是我们有

上式中的每个元素都是不可约元素, 因此其实表示了一个不可约分解. 由分解的唯一性可知必然与某个或者相伴. 若, 则, 于是我们得到

从而我们看到. 同理, 如果, 则我们可以得到. 于是必然至少整除中的一个. 根据定义是素元素. 

 这个性质指出唯一析因环必然满足素性条件, 我们自然想问是不是满足素性条件必然是唯一析因环? 答案是否定的, 单纯从素性条件我们是无法同时推出有限析因条件和唯一析因条件的. 但是我们重新审视定理3.8, 我们看到在已经有了有限析因条件和素性条件的情况下我们可以导出唯一析因条件, 这让我们不由猜想

定理3.11: 若一个交换整环同时满足有限析因条件和素性条件, 则该交换整环为唯一析因环.

证: 我们只需要证明唯一析因条件满足即可.

 设, 则根据有限析因条件可知它有不可约分解. 我们设它还有另一个分解, 我们需要证明且每个都与某个相伴. 我们用数学归纳法来证明这个结论, 对进行归纳.

 当的时候, 我们此时就有

如果, 则我们将写成了和这两个不可约元素的乘积, 换言之一个不可约元素有两个非平凡的真因子和, 这与不可约元素的定义矛盾! 因此. 此时.

 假设结论在的时候成立, 则当的时候由

可知, 由素性条件可知必然整除某个, 我们交换顺序使得, 这里是我们交换顺序时采用的那个置换. 因为均为不可约元素, 按照定理3.8证明过程中的论述此时必须有. 不妨设, 其中. 则我们就有

由消去律我们就有

上式左边是个不可约元的乘积, 右边是个不可约元的乘积, 根据归纳假设, 我们知道此时有, 于是当的时候我们仍旧有成立. 且根据归纳假设, 对中的任意一个元素我们都可以在当中找到一个元素与之相伴. 而且我们已经找到与相伴, 于是对的每个元素我们都可以找到中的某个元素与之相伴. 进而当的时候结论也成立. 根据归纳法原理对于任意的结论都成立. 

 现在我们需要注意一件事, 有限析因条件并不是一个容易判定的性质, 因此定理3.11实际使用起来很不方便, 我们还是希望能够找到更为简单实用的判定方式. 不过在寻找这个判定方式之前, 我们还需要叙述唯一析因环的另一个重要性质:

性质3.12: 唯一析因环是最大公因子整环.

证: 设是一个唯一析因环, 是它的单位群. 我们在上一节已经指出, 要想判定最大公因子整环, 我们其实只要考虑非零元素的公因子的存在性即可. 另外, 设, 则对任意, 我们知道, 另外, 于是. 而对任意的我们都必须有, 于是. 于是单位和另一个非零元之间最大公因子也是必然存在的. 考虑到这一点, 我们只需考虑当中任意两个元素最大公因子的存在性即可.

 因为且是唯一析因环, 我们知道存在不可约分解

现在我们将中相伴的元素写在一起, 注意到如果则存在使得, 于是. 以此类推, 任意个相伴元素都可以找到单位使得, 于是. 而单位成群, 因此存在单位使得. 进而我们看到任意个相伴元素乘到一起都可以写成的样子. 最终我们可以将上面的不可约分解写成

这里是中互不相伴的所有元素, 且, 是单位, 我们令, 则

我们令

根据上面的结果显然有且, 于是. 假定, 则因为, 我们知道. 若是单位, 则必有. 假设不是单位, 则就存在不可约分解