系列说明:

这份笔记是我对环论中个人认为比较基础的内容的摘录, 我默认读者对于群论已经有所了解, 因此不再对一些比较基础的内容进行重复. 此外, 我觉得这些东西都比较基础, 因此就完全按照定义---定理---例---备注这样的模式进行书写了, 并且不准备对其中的细节做太多说明.

1. 环的基本定义

定义1.1(环): 设是一个非空集合, 和是它上面的二元运算, 如果三元组满足(1) 是一个Abel群; (2)  是一个半群; (3) 对任意, 有(左分配律)和(右分配律)成立, 则称该三元组构成一个环.

注1.1.1: (1) 的单位元称作零元, 默认记作, 记. (2) 方便起见, 将环简单记作, 除非特别强调它上面的加法和乘法. (3) 在不产生歧义的情况下, 乘法的运算符略去不写, 即会记作. (4) 中的逆元记作, 称其为的负元, 并规定.

例1.1.1: (1) , , , 都构成环, 称作数环.

(2) (数域上的元多项式的全体)关于多项式加法和乘法构成环, 称作元多项式环.

(3)若是环, 则以中元素为矩阵元的阶方阵的全体关于矩阵加法和乘法构成环, 称作上的矩阵环.

(4) 整数集的剩余类关于加法以及乘法构成环, 称作模的剩余类环, 其中.

(5) 设是Abel群, 定义上乘法: , 则构成环, 被称作零环(有些书上将只含有零元的环叫做零环, 这种零环比这里定义的零环要弱, 换言之, 他们的零环也是这里的零环, 但反过来不成立).

注1.1.2: 设是环, , , 对任意, 记

这里以及下文中累加符号和累乘符号按通常数集上的定义进行类似理解. 则有:

(1) 通过归纳法可以证明下述结论成立:

证明从略.

(2) 对于任意的以及, 有.

证: 只证明, 类似可证.

要证, 只需注意到

两边同时加上的负元则有, 即, 也就是说. 特别注意, 上面的所有过程中出现的都是环的零元而非数. 

(3) 对任意, 有.

证明从略.

(4) 根据(3), 有

(5) 对任意和, 有.

证: 首先假定, 则根据定义就有

当时根据(2)就可得到, 当时, 结合(4)和的结果和定义即可得证, 具体证明从略. 

例1.1.2:  对于一般数集成立的下述命题对于一般的环不再成立.

(1) 若, , 则.

反例: 对于, 注意到. 换言之对于非零的整数和非零元, 我们得到.

(2) 若, 则.

反例: 对于矩阵环, 取和, 可以验证.

一般地, 设是环, 对于任意, 称使得的为的右零因子, 使得的为的左零因子, 若使得, 则称为的零因子.

(3) 若且, , 则.

反例: 在(2)的基础上引入, 则, 但是. 一般地, 若, 则, 因为, 若想给出, 就必须要求没有右零因子. 类似地, 要想让右消去律成立, 就必须要求没有左零因子.

(4) 若, , 则.

反例: 对于矩阵环, 取, 则.

一般地, 对于一个环, 若存在使得某个满足, 就称是幂零的.

启示: 一般涉及环乘法的命题, 可以采用矩阵环作为例子来寻找反例, 涉及环加法的命题, 可以采用剩余类环作为例子寻找反例.

注1.1.3: 因为环定义中加法的条件很强, 没有提升的空间, 但是乘法条件比较弱, 存在加强的可能, 于是通过对环乘法的各种加强, 就得到了不同的环:

(1) 若还构成交换半群(乘法满足结合律和交换律), 则称为交换环.

(2) 若还构成幺半群(乘法满足结合律并且存在单位元/幺元), 则称为幺环.

(3) 若还构成交换幺半群, 则称为交换幺环.

(4) 若构成半群, 则称为无零因子环, 因为此时非零元和非零元相乘得到的还是非零元. 因为非零元相乘得到的还是非零元, 于是若两个元素相乘为零元, 则必然其中至少有一个是零元, 这是无零因子环的另一种定义方式.

(5) 若构成幺半群, 则称为整环.

(6) 若构成交换幺半群, 则称为交换整环(有些书中将这里的交换整环叫做整环, 于是他们的整环弱于这里的整环, 即我们的整环不一定是他们的整环, 而他们的整环一定是我们的整环).

(7) 若构成群, 则称为体.

(8) 若构成交换群, 则称为域.

从定义来看,

(a) 域体整环无零因子环, 因为它们是对的逐步加强.

(b) 交换幺环是交换环与幺环的交集, 即交换幺环幺环交换环.

(c) 整环是幺环条件加上无零因子环条件, 于是整环幺环无零因子环.

(d)考虑到零元本身对任意元素是交换的, 若构成交换幺半群, 则一定构成交换半群, 因此交换整环交换幺环整环.

上述结论可以表述为下述的结构图:

需要注意的是, 因为体一定是整环, 如果我们证明了一个环是体且是交换幺环, 则它必然也是交换整环, 进而它就是域, 于是证明一个环是域只需证明它同时是交换幺环和体即可.

例1.1.3: (1) 如上所述, 域一定是整环, 但整环不一定是域. 因为是域, 所以它们也是整环. 而是整环, 但是它不是域.

(2) 剩余类环是交换环(因为代表元乘法可交换而类乘法归结为代表元乘法)也是幺环(幺元是), 进而是交换幺环.

(3) 是幺环, 但是不是交换环, 也不是无零因子环, 进而不是整环, 更不是幺半环和体.

(4) 数域上的一元多项式环是交换整环, 但不是体.

(5) 根据定义, 域一定是体, 但体不一定是域. 后半句从定义来看是显然的, 因为域增加了一个交换性的要求, 但是反例并不容易找. 但是这里有一个很有价值的反例, 那就是Hamilton四元数环:

它对矩阵加法和矩阵乘法构成环. 因为它是矩阵, 只要我们证明它对加法和乘法封闭, 则, 的Abel群和半群性质都是直接的, 而对加法封闭是显然的, 对乘法封闭需要稍稍验证一下:

要证明是体, 只需证明是群. 乘法的结合律和幺元存在是显然的, 为此只需证明它对乘法封闭, 且每个元素都有逆元素. 容易知道, 的零元是零矩阵, 因此中的元素必须满足, 这等价于, 这表明等价于说. 我们知道只要方阵行列式不为零则可逆, 因此逆元存在性也证明了. 最后只需证明它封闭. 现在假定, 则, 进而, 结合的封闭性可知封闭, 进而构成群. 于是是体, 但是从上面的乘法结果的表达式来看, 左边矩阵元素和右边矩阵元素地位不对等, 作替换后无法得到同样的结果, 因此乘法是不可交换的, 进而不构成域.

注1.1.4: 上面介绍的四元数环中通过引入

则任意一个元素都可以写成

可以证明是线性无关的, 从而构成上的四维线性空间, 它的一组基就是上面引入的四个矩阵. 不仅如此, 上面引入的满足反交换性, 其中, 还满足轮换性质和以及性质. 这些性质构成了四元数的基本特征.

定理1.2: 是域当且仅当为质数.

证: [必要性] 即若是域, 则为质数. 用反证法. 假定是域但不是质数, 则存在满足使得.  因为, 有, 但是此时, 根据要求, 是域, 从而是无零因子环, 两个非零元乘积变成零, 这就矛盾了! 因此假设不成立, 换言之必须是质数.

[充分性] 即若是质数, 则是域. 我们已经知道是交换幺环了, 要证明是域, 只需证明是体即可. 换言之, 我们要依次证明(1) 满足对若, 则或, 即是整环; (2) 对于任意的, 存在使得, 进而是体.

(1) 用反证法, 假定均不为, 按照代表元的选取习惯, 此时必然有. 因为, 于是, 换言之, 这意味着有除了它自身以外的因数, 但是是质数, 这就矛盾了.

(2) 因为, 因此, 因为是质数, 这个结果同时表明互质, 也就是说, 根据

裴蜀定理, 我们知道存在整数使得, 也就是说, 这表明, 换言之, 或者说, 这表明对于每个非零元, 我们都找到了它的逆元.

结合(1)(2)以及是交换幺环的性质, 我们知道是域. 

根据定理1.2, 是最简单的域, 它里面有两个元素和, 这就和计算机中的关联起来了, 此时我们看到原本的二元集上带了域结构, 这样一个域结构带来了线性空间, 带来了域上多项式, 带来了域上方程组. 密码学上的一些理论就依靠上的结构给出.

在实数中我们知道无论多少个1相加都不会使其变成, 但是以为例, 这是一个域, 并且, 换言之, 它的幺元的倍数可以变成零元, 即, 其中. 可以看到, 对于域, 我们有, 其中. 从中我们抽象出一个概念:

定义1.3(域特征): 设是一个域, 它的幺元为, 零元为, 称使得成立的最小非负整数为域的特征, 记作.

定理1.4: 任何一个域的特征要么为0, 要么为质数.

证: 假定是一个域, 和分别是它的幺元和零元.

如果找不到正整数使得, 则根据注1.1.2的(2)我们知道要让必须有.

假定可以找到使得的最小正整数且不是质数, 则可以找到满足的正整数使得, 因此, 注意到域满足, , 从而我们有

因为域中没有零因子, 因此上式指出要么, 要么, 这样一来我们就找到了满足, 此时和域特征的定义矛盾!  

值得注意的是, 上述证明过程不需要域对非零元可逆性的要求, 因此它其实可以放宽到存在幺元的无零因子环, 也就是整环上, 此时域特征是整环的特征的特例.  根据定义, 我们知道, . 在一些理论中, 我们需要将的域排除掉.

2. 子环和环的理想

定义2.1(子环): 设是一个环, 是的非空子集, 若也构成环, 则称其为的子环, 记作.

例2.1.1:   (1) 任何一个环都必然存在至少两个子环: 自身和, 它们称作环的平凡子环.

(2) 也是环, 它是的子环. 有趣的是, 里有幺元, 但是里面没有幺元. 这表明幺环的子环不一定是幺环.

(3) 令, , 则它们都是的子环. 因为不是质数, 不是域, 但是和是同构的(这里按照群同构进行理解即可, 环同构在后面会详细讨论), 因此是域. 这表明即便原本的环不是域, 它的子环也有可能是域. 此外有幺元, 它和的幺元不同. 类似地, 也是幺环, 它的幺元为. 这个结果表明幺环的幺子环的幺元不必然和幺环幺元相同.

(4) 任何一个数域都可以看作是一元多项式环的子环, 它们都是幺环, 且幺元相同.

(5) 设, , 可以验证它们都是矩阵环的子环, 且是的子环, 即, 有幺元, 也有幺元单位阵, 但是没有幺元, 换言之, 不存在类似于迫敛性那样的针对环幺元存在性的结果.

定理2.2(子环的判定定理): 设是一个环, 是它的非空子集, 则当且仅当对任意, 有(1) ; (2) .

证: 根据子群的判定条件, 我们知道是子群当且仅当, 此处是Abel群, 而Abel群子群必然是Abel群, 于是条件(1)等同于说是的Abel子群. 而条件(2)则等同于说是半群, 因为结合律是继承的, 这条又补充了封闭性. 最后通过继承的分配律可得的分配律. 根据这个分析, 充分性得证. 必要性则是显然的. 

由于Abel群的任意子群都是它的正规子群, 因此如果, 则对任意, 均有, 但是因为乘法没有那么好的性质, 我们没有, 通常只会有. 考虑到正规子群在群结构分析中的强大作用, 我们自然希望可以将其迁移到环中, 得到一个类似于"正规子环"的东西, 由于历史原因, 这个东西被命名为理想.

定义2.3(理想): 设是一个环, 都是它的子环, 且满足对任意的, 有, , 则分别称和为环的左理想和右理想, 特别地, 如果既是的左理想, 也是它的右理想, 则称为环的理想. 如果是的理想, 则将其记作.

注2.3.1: 环的左右理想是按照环元素作用在子环元素的方向进行命名的, 左理想是指环元素从左边作用在子环元素上不会使其跑出子环; 右理想指环元素从右边作用在子环元素上不会使其跑出子环.

注2.3.2: 任何一个环都有两个理想, 它的平凡子群都是其理想, 我们称其为平凡理想.

例2.3.1:  (1) 的子环都是它的理想;

(2) , 即以为一个根的一元多项式的全体构成的理想, 这是因为若有根, 则对任意也有根, 至于验证,  考虑到若都有根1, 则根据多项式的带余除法定理, 一定存在和使得和, 于是.

(3) 设是环, 则

构成的左理想, 构成的右理想. 证明从略. 这里不必然要求第一行或者第一列, 事实上, 也不必然要求只有一行或者一列非零.

注2.3.3: 若是体, 则它只有平凡理想.

证: 假定且, 则只需证明即可, 不失一般性, 此时可以假设. 注意到若, 则对于任意的, , 从而, 由于是理想, , 这就证明了. 因此只需证明. 注意到是体, 因此它里面的任意非零元都有逆, 因为, 只要不是, 就一定可以找到并有. 此时, 因此. 

定理2.4(理想的判定定理): 设是一个环, 是它的非空子集, 则是的左(右)理想当且仅当(1) 对于任意, 有; (2) 对于任意的和, 有().

证: [充分性] 如果满足(1)和(2), 注意到是的子集, 所以首先可以知道是子环. 然后根据理想的定义, 就必须将其扩充到任意的上.

[必要性] 这个是显然的.  

下面这个概念很重要, 我们后面重点关注的主理想整环就要一直用它.

首先介绍一个定理:

定理2.5: 一个环中任意多个左(右)理想的交还是左(右)理想.

证: 假定是环的左理想, 即对任意, 有且对任意有.

假定, 则属于每个, 从而属于每个, 进而. 同理, 若, 则对任意的, , 进而. 考虑到这个过程不需要用到左理想的个数, 因此对任意值都是成立的. 同理可证右理想的情况. 

类似的定理也出现在群论当中, 当时借助这样的结论我们定义了由子集生成的子群(正规子群), 这里我们也可以类似地定义由子集生成的理想

定义2.6(子集生成的理想): 设是环的非空子集, 令, 则称

为生成的理想. 如果是有限集, 则也将记作.

例2.6.1: 这里考虑单点集生成的理想的结构.

因为是理想, 因此它需要对自己内部元素的加法封闭, 这就导致, 它还要保证对于任意, 和在它里面, 由于是理想, 还必须要求对于任意的, 在在它里面. 接下来考虑到对加法的封闭性, 注意到还是左乘的结构, 都是右乘的结构, 但是无法通过分配律提取, 最终可以猜想的结构为

根据构造我们至少可以断定上面的右边是左边的子集, 要证明相等就还得证明左边是右边的子集, 因为这个结论非常直观, 我们根据已知遍历了所有可能性, 因此上面的结果必然是正确的, 证明比较繁琐, 因此略去.