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我们紧接着《电动力学之电磁场的辐射(1)——辐射场的计算公式和矢势的展开式(文中附近期电动力学专题文章汇总)》继续讨论 , 本文是电动力学之电磁场辐射专题系列第二篇 , 主要研究电偶极辐射和短天线辐射 .
3.电偶极辐射
我们开始研究矢势的展开式的第一项 , 在这之前需要了解电流密度 体积分的意义 . 众所周知 , 电流是由运动的带点粒子组成的 , 设单位体积内有 个带电荷量为 速度为 的粒子 , 则它们各自对电流密度的贡献为 , 故 , 其中求和号表示对各类带电粒求和 , 而上式也表示对单位体积内所有带点粒子的 求和 , 于是有 , 这里的求和号表示对区域内所有带电粒子求和 . 注意到
其中 是电荷系统的电偶极矩 , 进而有 .上图表示一个简单的电偶极子组成的系统 , 它由两个相距为 的导体球组成 , 两个导体之间由细导线相连 , 当导线上载有交变电流 时 , 两个导体球上的电荷 就交替变化形成一个振荡的电偶极子 , 此时系统的电偶极矩为 , 以及 的变化率为 , 故电荷体系的电偶极矩的变化率为
正好与前面的结果相符合 . 这样一来我们就得到了振荡电偶极矩所产生的辐射
在计算电磁场的辐射时 , 需要对矢势 作用算符 , 由于我们只保留 的最低次项 , 故算符 不需要作用到分母的 上 , 而只需要作用于相位因子 上 , 这样作用的结果相当于作代换 和 , 于是得到电磁辐射场为
如果取球坐标原点在电荷分布区域内且以 的方向为极轴 , 如上图所示 , 那么磁场 沿着纬线振荡 , 电场 沿着经线振荡 , 则有
于是磁感线是围绕极轴的圆周 , 即 总是横向的 , 而电场线是经面上的闭合曲线 , 如下图所示 . 由于在空间中 , 电场线必须闭合 , 但 不可能完全横向 , 只有在略去 的高次项后 才近似为横向 , 即电偶极辐射场才是空间中的 波 . 事实上在辐射区电磁场 , 能流 , 对球面积分后总功率与球半径无关 , 这就保证了电磁能量可以传播到无穷远处 .不过在电磁场辐射的实际问题中 , 最主要的还是计算辐射功率和辐射的角分布 , 它们都可以由平均能流密度 求出 , 则有
其中因子 表示电偶极辐射的角分布 , 即辐射的方向性 , 在 的平面上辐射最强 , 在 的平面上即沿着电偶极矩轴线方向则没有辐射 , 下图表示电偶极辐射角分布 .如果我们把 对球面作积分就得到了辐射总功率 , 那么有
由此可知 , 如果保持电偶极矩振幅 不变 , 那么辐射功率正比于 , 频率变高时辐射功率迅速增大 .
4.短天线的辐射
当直线天线的长度 远小于波长 时 , 它的辐射就是电偶极辐射 , 上图表示中心馈电长度为 的短天线 , 在天线的两半段上电流方向相同 , 在天线中心的馈电处电流达到最大值 , 在天线两端处电流为 , 如果满足 , 那么沿天线上的电流分布近似为线性分布 , 其中 , 此时电偶极矩变化率为 （上式积分下限修改为-l/2）, 代入上面辐射功率的表达式后得到
上式适用于 的情形 , 如果保持天线电流 不变 , 那么短天线的辐射功率正比于 .
由于电磁能量不断地向外辐射 , 故电源需要供给一定的功率来维持这个电磁辐射 , 从上面的结果可知 , 辐射功率 正比于 , 此时辐射功率相当于一个等效电阻上的损耗功率 , 则称这个等效电阻为辐射阻抗 , 我们令 , 与 相比较后得到 , 于是我们可以得到如果天线的辐射阻抗越大 , 那么在一定输入电流的情形下辐射功率越大 , 这表明辐射阻抗通常是用来表征天线辐射能力的一个物理量 . 由于短天线的辐射阻抗正比于 , 故它的辐射能力并不强 , 那么必须使得天线长度 增加到和波长 同一数量级 , 但这样的情形已经不能用电偶极辐射来表示了 , 后面的文章我们将讨论半波天线的辐射 .
参考文献和推荐阅读：
(1) 电动力学, by 郭硕鸿
(2) 经典电动力学, by John David Jackson
(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths
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