我们打算适当补充一下代数几何中的曲线和曲面专题 . 本文是代数几何中的曲线和曲面专题的补充篇(下) , 主要内容是 Riemann-Roch 定理及一些结果的补充与推广 , 原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 , 更多精彩内容请关注：

代数几何之曲线和曲面专题补充(下)

我们紧接着《代数几何之曲线和曲面专题补充篇(上)：相交理论，Chow 环和 Chern 类》进一步讨论  .

4. Riemann-Roch 定理

设 是非异射影簇 上秩为 的局部自由层 , 而 的维数为 , 令 是 的切层 , 则我们要给出 的一个表达式 , 它可以用 和 的 Chern 类来表示 , 为此需要引入 中的两个元素 , 它们由一个层 的 Chern 类的某个泛多项式来定义的 .

设 , 其中 是形式符号 , 接下来就定义层 的指数 Chern 特征为 , 其中 , 然后再定义层 的 函数类 , 其中 , 事实上这些是 的对称函数式 , 从而可以表示为 的有理系数多项式 , 经过一番计算并结合指数 Chern 特征和 函数类的定义可知

这里 且当 时 .

定理2(Hirzebruch-Riemann-Roch 定理)：对于 维非异射影簇 上的一个秩为 的局部自由层 , 有 , 其中 表示 的 次部分 .

这个定理的证明是由 Hirzebruch 在 上完成的证明 , 具体的证明可以参考 Hirzebruch 的《Topological Methods in Algebraic Geometry》 . 在任意代数闭域 上 Grothendieck 证明了一个更广义的形式 , 即后面的定理5 , 具体的证明可以参考 Borel 和 Serre 的文章《Le théorème de Riemann-Roch》 .

下面我们来看几个例子 .

例1：设 为曲线 , 且 , 则有 , 由于切层 是 的对偶层 , 故有 , 其中 为典则除子 , 于是 , 因此由定理2可知

当 时有 , 故上式结果为 , 这就是《代数几何中的曲线专题(第一篇)：Riemann-Roch 定理》一文中的定理3——曲线上的 Riemann-Roch 定理 .

例2：设 为曲面 , 且 , 则有 , 注意到 为切层 的 Chern 类 , 它们仅仅依赖于 , 故也可以视为 的 Chern 类 , 由于切层 是 的对偶层 , 以及根据《代数几何之曲线和曲面专题补充篇(上)：相交理论，Chow 环和 Chern 类》中关于 Chern 类的性质(v)可知 , 事实上 恰好是 , 其中 为典则除子 , 故有 , 但第二 Chern 类 是曲面的一个新的不变量 , 或者说 表示切层的次数 , 于是由定理2可以得到

然后相乘再取次数 , 于是上式结果为

这里我们用 既表示 中的一个类又表示它的次数 , 特别地当 时有 , 利用算术亏格 的定义 可以立马得到 , 这就是《代数几何中的曲面专题(第二篇)：曲面上的几何(下)》中定理6——曲面上的 Riemann-Roch 定理的补充说明中的结果 , 即 用 和 的表达式 .

例3：作为应用 , 我们来推导 中曲面的数值不变量之间的一个相互联系的公式 , 为了深入地讨论这个问题 , 我们需要了解当 是 中的 次曲面时数值不变量为 和 , 于是 也都唯一地由 所确定 . 另一方面 , 由于任意射影曲面都可以嵌入到 中 , 故对于 中的曲面我们还不能期望这些数值不变量之间会产生何种联系 , 然而一般情况下一个曲面不能嵌入到 中 , 那么对于哪些可以嵌入到 的曲面 , 我们可以预测需要满足一定的条件 . 下面设 是 中 次非异曲面 , 则在 的 Chow 环中 等价于一个平面的 倍 , 故 , 另外我们可以用《代数几何之曲线和曲面专题补充篇(上)：相交理论，Chow 环和 Chern 类》中关于 Chern 类的性质(vii)——自相交公式来计算 , 进而 , 其中 是 在 中的法层 , 此时存在一个正合序列 , 其中 是包含映射 , 因此我们可以利用这个正合序列来计算 , 从而得到我们想要的条件 . 首先利用正合序列 , 令 为超平面截影 , 并得到

注意到类似于上面的例2 , 我们有 , 再令 为 的超平面截影类 , 故接下来就结合正合序列 并利用《代数几何之曲线和曲面专题补充篇(上)：相交理论，Chow 环和 Chern 类》中关于 Chern 类的性质(iii)可以得到

然后比较 和 的系数就可以计算出

最后取次数并借助 , 和上面例2中的 就得到了下面的结果 , 即

对于 中的任意 次非异曲面均成立 .

5.补充和推广

对于 维簇给出了一个相交理论后 , 一个很自然的问题就是对于曲面中的一些定理和结果是否也可以推广 , 答案显然是肯定的 .

定理3(Nakai-Moishezon 判别法)：设 是代数闭域 上的本征概形 , 是 上的一个 Cartier 除子 , 则 为 上的丰沛除子当且仅当对每一个整的闭子概形 有 , 其中 , 事实上如果 为整概形 , 那么也包括了 的情形 .

当 是域 上的射影概形时 , Nakai 在他的文章《A Criterion of an ample sheaf on a projective scheme》中证明了定理3 . 而 Moishezon 也在他的文章《A Criterion for projectivity of complete algebraic abstract varieties》中独立地证明了该定理在 是抽象完全代数簇的情形时是成立的 . 后来 Kleiman 在他的文章《Toward a numerical theory of ampleness》中简化了证明过程 . 严格意义上讲 , 定理3使用了与《代数几何之曲线和曲面专题补充篇(上)：相交理论，Chow 环和 Chern 类》一文中的定理1不同的相交理论 , 毕竟我们没有假定 是非异射影簇 , 于是并没有 Chow 移动引理 . 另一方面我们仅需考虑一些 Cartier 除子与单个闭子概形的相交 , 故阐述的相交理论实际上比《代数几何之曲线和曲面专题补充篇(上)：相交理论，Chow 环和 Chern 类》一文中的定理1要初等得多 , 详细内容同样可以参考 Kleiman 的文章《Toward a numerical theory of ampleness》 . 注意到定理3推广了《代数几何中的曲面专题(第二篇):曲面上的几何(下)》中的定理10 , 即曲面上的 Nakai-Moishezon 判别准则 , 理由是如果取 , 那么有 , 而当 为曲线时有 .

我们也可以将《代数几何中的曲面专题(第二篇):曲面上的几何(下)》中的定理9—— Hodge 指数定理推广到 上的非异射影簇 . 考虑 的相伴复流形 和它的复上同调 , 对于 上余维数为 的环元 , 则可以定义它的上同调类 , 如果 , 那么称 同调等价于零 , 即 .

定理4(Hodge 指数定理)：设 是 上的非异射影簇 , 它的维数是偶数 , 即 , 令 为 的一个丰沛除子 , 为余维数为 的环元 , 且满足 和 , 则 .

定理4是用调和积分的 Hodge 理论证明的 , 详细内容可以参考 Weil 的专著《Variétés Kählériennes》第78页的定理8 , 它推广了《代数几何中的曲面专题(第二篇):曲面上的几何(下)》中的定理9—— Hodge 指数定理 , 这是因为对于除子而言 , 我们可以证明同调等价与数值等价是一致的 . Grothendieck 在他的专著《La théorie des classes de Chern》中给出猜想 , 利用 - 上同调作为同调等价的定义时 , 定理4对于任意代数闭域均成立 , 当然他也指出利用环元的数值等价性时定理4也可能成立 , 这是一个 Opening 的猜想 , 目前甚至在 上还不确定是否成立 , 详细内容可以参考 Kleiman 的文章《Algebraic cycles and the Weil conjecture》中关于这些猜想以及 Grothendieck 的其它标准猜想的讨论 .

现在来给出 Grothendieck 关于 Riemann-Roch 定理的推广 , 我们使用 Boerl 和 Serre 的文章《Le théorème de Riemann-Roch》中的方法 . 将 Chern 类的定义移植到 Grothendieck 群 上 , 而对于 为非异代数簇的情形我们只需要利用局部自由层就可以计算 , 于是根据《代数几何之曲线和曲面专题补充篇(上)：相交理论，Chow 环和 Chern 类》中关于 Chern 类的可加性质即性质(iii)可知 , 显然 Chern 多项式 扩张为一个映射 , 于是就给出了定义在 上的 Chern 类 , 另外指数 Chern 特征 扩张为映射 , 那么可以证明 有一个自然的环同构 , 对于局部自由层 和 定义为 , 而 则是一个环同态 . 如果 是非异代数簇之间的态射 , 那么对于局部自由层 , 我们用 定义了一个环同态 , 且指数 Chern 特征 与 可交换 , 如果 为本征态射 , 那么可以定一个可加映射 为 , 其中 为凝聚层 , 且映射 与 不可交换 , 而这种不可交换的程度就是广义的 Grothendieck-Riemann-Roch 定理 .

定理5(Grothendieck-Riemann-Roch 定理): 设 为非异拟射影簇之间的光滑射影态射 , 则对任意的 , 在 中有 , 其中 是 的相对切层 .

如果 是一个单点 , 那么定理5化为前面的定理2 .

Grothendieck 在讨论班上的发布了专著《SGA6: Théorie des Intersections et Théorème de Riemann-Roch》 , 他全力解决了较为棘手的技术障碍后 , 定理5已经被推广为下面的表述 , 即 是一个具有丰沛可逆层的 Noether 概形 , 是局部完全交的射影态射 , 而这个工作可以参考 Manin 的专著《Lectures on the K-functor in Algebraic Geometry》 .

事实上我们还应该提及另一个 Riemann-Roch 公式 , 即对于 为闭浸没的情形 , 它由 Jouanolou 在他的文章《Riemann-Roch sans dénominateurs》中给出了证明 , 即在闭浸没的情形 , 对于 上的任意凝聚层 , 上面的定理5中的公式给出了一个计算 Chern 类 的方式 , 使得它可以用 和 来表示 , 其中 是法层 , 原本可以利用整系数多项式来表示 , 但定理5的证明只给出了 中的结果 , 即去掉了扭元素 , 故 Jouanolou 断言这样的结果实际上是在 本身中就成立 .

最后 , 另外关于 Riemann-Roch 定理可以推广到奇异簇的情形 , 这个工作已经由 Baum , Fulton 和 MacPherson 发展起来 , 详细内容可以参考 Fulton 的文章《Riemann-Roch for singular varieties in Algebraic Geometry》 .

参考文献和推荐阅读：

Robin Hartshorne . Algebraic Geometry . Graduate Texts in Mathemarics . Springer . Vol . 52 .

您的点赞与关注是我们坚持不懈的动力 (点开名片进行关注）：

由于微信平台算法改版，公号内容将不再以时间排序展示，如果您想第一时间看到我的推送，强烈建议星标我的公众号。星标具体步骤为：在公众号主页点击右上角的小点点，在弹出页面点击“设为星标”，就可以啦。感谢您的支持！