写在前面：欢迎关注“研数学 习物理”！粉丝突破67000！
以下的全文来源于该书中的导言部分 , 小编仅进行一番整理 , 有些地方作了调整和适当补充 .
我们继续来为李文威教授的新书《代数学方法(第二卷)：线性代数》作一番推荐 . 上一篇文章的末尾我们提到要介绍一些关于同调代数的内容 , 那么本文我们就适当地展开讨论一下同调代数的内容 , 值得一提的是同调代数是线性代数的核心内容之一 .
同调代数的发展首先是由拓扑学来推动的 , 19世纪后期 Riemann 和 Betti 研究了曲面的亏格以及 Betti 数的高维推广 , 到了19世纪末20世纪初 , 这样的思想和方法则是由 Poincaré 发展为更加严谨的体系 , Poincaré 的原始思路是将拓扑空间剖分为多边形 , 多面体或更高维形体的粘合 , 并用表示粘合方式的矩阵来计算 Betti 数或 Betti 数的挠系数 , 事实上它们都是拓扑不变量 .
后来 Noether 在她的1925年的一篇文章中阐明如何将同调定义为一个交换群 , 而 Betti 数或 Betti 数的挠系数只不过是派生的内容 , 这十分接近现代拓扑学中的定义 , 即对带有剖分的空间 和交换群 定义相应的链复形 , 这里包括了剖分的粘合方式 , 于是 的 -系数同调群定义为 , 而另外也用对偶的方法来定义相应的上同调群 .
到了20世纪50年代 , 代数拓扑学得到了充分的发展 , 主要包括以下几个方面 . 首先同调或上同调的万有系数定理说明了整系数的情形已经可以完全确定系数在一般交换群 的同调或上同调 , 当然它的具体描述需要借助 函子和 函子 . 其次是上同调的杯积 , 这其实是上同调群所具有的一种乘法结构 . 然后是关于非球面空间的结果 , 即满足对应任意的 和 的球面空间 , 其中 表示相对于选定基点的 次同论群 , Hurewicz 证明了非球面空间的同调和上同调群完全由 决定 , 且能利用代数方法给出 .
当然同调代数的发展也离不开代数学本身 , 其中一个比较经典的例子是1890年提出的不变量理论中的 Hilbert 合冲定理 , 用更为现代的语言来描述就是多项式环 上的模总有长度小于等于 的自由消解 . 同样关系到代数问题的还有 函子 , 即对于交换群 和 , 它们的短正合序列 又被称为群扩张 , 如果精确到代数结构的话 , 那么它们和群 中的元素一一对应 , 另一方面如果将交换群 替换为一般的群 , 那么群扩张的分类自然地就引出了群上同调 的代数定义 . 至于环上的求导运算也是一个值得关注的代数学问题 , 1942年 Grothendieck 对于环 定义了 Hochschild 同调与上同调的不变量 , 其中 次项分类所有的求导运算 , 这些构造能扩张到更为一般的 -双模 上 .
20世纪50年代左右 Leray 做出了关于层和谱序列的相关工作 , 这一动机起始于与偏微分方程有关的不动点问题 , 我们已经知道层是几何学中承载从局部-整体的代数结构 , 而谱序列则是提供了计算层上同调的强有力的工具 , 在 Leray 的层与谱序列的理论以及 Oka 的多复变函数论的影响下 , Cartan 等数学家开始重新构建代数拓扑学的基础 , 至此同调代数得到了发展 .
关于同调代数的经典著作是 Cartan 和 Eilenberg 的《Homological Algebra》 , 该书的问世标志着同调代数的进一步发展 , 这一新时期我们称之为 Cartan-Eilenberg 革命 , 主要贡献包括以下几个方面 . 首先定义了内射模和投射模以及模的内射消解和投射消解 , 其次是在模论视角下定义了右导出函子和左导出函子 , 从而进一步给出了 函子和 函子的一般定义 , 引入了模的内射维数和投射维数 , 这些工具为日后交换环论的发展起了重要的作用 , 然后还解释了各种代数构造 , 比如群的上同调以及 Hochschild 同调与上同调 , 与此同时还系统地建立了谱序列及其乘法结构的一般理论 .
从几何的角度或者更确切地说是层论的角度来考虑模论框架下的同调代数似乎不够 , 我们希望得到比环 上的左模范畴 - 更一般的范畴 , 它应该具备某种线性结构 , 1955年 Buchsbaum 首次提出这样的思想 , 他对模论中正合序列的概念进行抽象 , 后来 Grothendieck 在他的文章《Sur quelques points d'algebra homologique》则给出了具体的方案 , 对应的范畴称为 Abel 范畴 , 即具有核 以及余核 的加性范畴 , 且要求其中所有的态射 均为严格态射 , 这里的严格指的是对应于模论中的同构定理 . 在这篇文章中 Grothendieck 还进一步给出了下面的结论 , 首先是借助长正合序列的概念定义了 -函子和泛 -函子 , 以及给出了泛 -函子的刻画 , 说明了导出函子是泛 -函子的特例 , 其次是得到了关于合成函子求导的 Grothendieck 谱序列 , 然后又定义了一类特殊的 Abel 范畴即 Grothendieck 范畴 , 并且找到了内射消解的存在性 . Grothendieck 的这些理论使得层的上同调理论的研究可以在更一般的空间上展开 , 这对代数几何学的发展更是关键的 .
Verdier 于1963年定义了 Abel 范畴 的导出范畴 , 这样定义的动机来源于 Grothendieck 在研究代数几何中的对偶性时遇到的困难 , 这使得我们不得不去寻找一种新的框架 , 其中处理的对象变不仅仅只是上同调 , 而是复形本身 , 但必须在形式上向复形范畴 引入拟同构的逆 , 这里的拟同构指的是在上同调中诱导同构 的复形态射 , 而引入这样的逆构造就称为 Gabriel-Zisman 局部化 , 它是环的局部化在范畴上的推广 .
导出范畴 包含的信息多于上同调 , 它的处理方式也和上同调不一样 , 我们将导出范畴 中被称为良好的三角一族的态射序列 来代替 Abel 范畴 或复形范畴 中的短正合序列 , 其中 表示复形 的平移 , 即满足 和 , 这些构造被 Verdier 进一步抽象为三角范畴的一类结构 . 从拓扑学的观点来看 , 导出范畴与三角范畴都是十分自然的 , 良好的三角族的态射序列可以类比同论理论中的上纤维序列 , 故出于对同论理论的考虑 , Puppe 在1962年发现了类似的结果 , 但他给出的条件并不包括 Verdier 八面体公理 .
尽管导出范畴在应用上并非完美 , 不过导出范畴的语言在进入21世纪以后是代数学家和几何学家的首选 , 一个比较突出的应用是由 Masaki Kashiwara 和 Mebkhout 等人给出的 -模理论 , 其中的一些基本处理问题的方式只在导出范畴上有良定义 . 另一方面 , 环 的导出范畴 - 也可以看作环 的一种不变量 , 如果两个环的导出范畴作为三角范畴是等价的 , 那么我们就称这两个环是导出等价的环 , 关于导出等价的一系列问题和方法是代数表示论中的核心 , 这方面的奠基工作是由 Happel 和 Rickard 完成的 .
众所周知 , 同调代数的拓扑是源于对空间的剖分 , 是由定义合适的链复形或上链复形来寻找拓扑不变量 , 而所涉及的剖分有各种各样的结构 , Eilenberg 和 Zilber 定义的单纯复形便是其中的一种 , 而单纯复形能进一步推广位在给定范畴中的单纯复形对象 , 使用这类语言可以有更为深刻的诠释 , 拓扑空间的同论理论就可以在单纯复形的框架下展开 , 而我们称之为脉的构造又可以把范畴解释为一类特殊的单纯复形 .
我们向单纯复形加入一点线性结构 , 即 Dold-Kan 对应给出了 Abel 范畴中的单纯复形对象和复形理论的直接联系 , 对于交换群范畴 而言 , Dold-Kan 对应则是一对显式地伴随等价 , 其中 是交换群范畴 上的单纯复形对象范畴 , 而 则是交换群范畴 上的非负次链复形范畴 , 对于复形范畴 , 我们可以改变标号或过渡到相反范畴进行处理 . Dold-Kan 对应能从拓扑学的角度解释关于链复形的很多定义和构造 , 于是借助单纯复形的方法 , 同调代数中的被称为杠构造的一类消解也能给出统一的诠释 .
因此同论理论是单纯复形理论的核心 , 进而涉及单纯复形的代数学方法也可以称作同论代数 , 且在由 Quillen 发展出的高阶 -理论中有突出贡献 . 总之线性代数中的单纯复形的方法是拓扑学 , 同论代数与同调代数在一个更高层次上的交织 , 后面随着发展出来的无穷范畴理论会在21世纪进一步体现它的中心地位 .
参考文献与推荐阅读：
您的点赞与关注是我们坚持不懈的动力 (点开名片进行关注）：
由于微信平台算法改版，公号内容将不再以时间排序展示，如果您想第一时间看到我的推送，强烈建议星标我的公众号。星标具体步骤为：在公众号主页点击右上角的小点点，在弹出页面点击“设为星标”，就可以啦。感谢您的支持！
