在上一节我们以环的扩张定理为基础, 讨论了包含交换幺环外一个元素的最小的的扩环, 并通过的不定元定义了一元多项式环, 我们证明了对于任意的交换幺环, 它上面的一元多项式环都是存在的, 而且在同构意义下是唯一的. 本节我们来处理实际应用中最为常见的一元多项式环, 即域上的一元多项式环. 在本节, 我们用表示任意一个域.
上一篇文章的末尾我们给出了多项式的一些性质, 比如说我们证明了多项式乘积的首项等于首项的乘积, 多项式的乘积的次数等于多项式次数的乘积, 多项式和的次数不超过次数的和等等. 在本节, 我们要经常用到将代入到多项式当中这样的说法, 然而在我们上一节定义的多项式当中, 不定元有着特定含义, 它是环的一个特定的不定元, 只有是不定元的时候我们这样做才可以得到和原本的环同构的结果. 但是这种操作又是多项式理论当中不可或缺的, 特别是阐述多项式的根的时候. 为此, 我们首先就需要将该说法严格化.
要严格化这一点, 只需要使用上一节我们给出的多项式环的重要性质:
引理: 设是交换幺环, 是环到交换幺环的同态嵌入, 且, 是环上的任一一元多项式环, 则对于任意的, 存在且唯一存在的同态扩张使得.
根据这个性质, 对于任意的, 我们可以找到, 在这个映射下, 有
我们约定, 如果有上的多项式, 则"将环当中的元素代入的含义即为考虑在映射下的作用, 并将结果记作". 换言之, 我们有.
注: 在数学当中, 我们经常看到"对于任意xx, 存在且唯一存在xx"这样的字眼, 换成数学符号就是, 前面的任意表明对于我们考虑的所有对象都有该性质, 后面的唯一存在表明该性质不仅成立, 而且使其成立的是唯一的, 我们将这样的表述称作万有映射性质(universal mapping property, UMP), 也译作泛性质.于是我们看到一元多项式环具有一种UMP.
有了上述准备操作之后我们即可正式进入域上的一元多项式环的学习.
2. 域上的一元多项式环
在上一篇文章的最后我们已经知道, 交换整环上的一元多项式环一定也是交换整环, 既然是交换整环, 我们就可以使用前几讲的理论来对其进行分析. 我们知道域一定是交换整环, 因此域上的一元多项式环一定也是交换整环. 下面我们将会看到, 一元多项式环有着极强的结构:
定理2.1: 设是一个域, 为上的一元多项式环, 则(1) 对于任意的且, 存在唯一一对多项式和使得
且; (2) 进而是ED.
证: (1) 首先我们证明存在性. 若, 则对于任意的, 我们必然有, 此时且. 假定是零次多项式, 即, 则对于任意的, 如果, 比如, 则, 此时, , 于是. 若, 则, 此时, 于是.
接下来我们用归纳法来对存在性进行证明. 设, 则根据题设有. 如果, 则可以取, 此时满足要求. 现在假设的时候均存在且满足要求. 接下来我们考虑的情况. 此时按照前面的说法, 不妨令(因为的时候已经证明其存在了). 我们取
假定且成立, 于是的首项等于与首项的乘积, 于是的首项必然是, 只有这样它与的乘积首项才是. 然后考虑到次数满足的关系(多项式和的次数不超过多项式次数的最大值, 积的次数等于次数的和), 我们可以考虑取的首项为, 于是不妨取试探值, 然后我们令
因为, 因此根据归纳假设, 存在使得
进而我们得到
我们取, , 则找到了满足要求的和.
然后我们再证明唯一性. 假定还有和满足要求. 则
整理一下, 得到
若, 则有
但是另一方面, 我们必须有
这就导出了矛盾, 因为一个数不可能同时满足和. 于是必须有, 进而. 唯一性得证.
(2)要证明是ED, 我们只要找到使得带余除法表示当中有即可. 只要我们取, 则由于指数函数是增函数, 且当为零多项式的时候, 因此这里构造的就是我们要找的映射.
上面这个定理指明, 域上的一元多项式环也有带余除法定理成立, 而且它和整数的带余除法定理完全一致, 不但带余除法存在, 而且表示唯一. 另外, 由于是ED, 进而它是PID, 也是UFD. 自然我们就需要去考虑它的唯一分解的样子, 而要讨论它的唯一分解, 我们首先就需要知道上不可约元是怎样的. 由于的单位和的单位相同, 而的单位就是, 因此的不可约元就在当中, 换言之, 的不可约元一定在一次及一次以上多项式当中. 后面我们将会具体讨论不可约元的结构.
在多项式理论当中, 我们将因子称作因式, 倍子称作倍式, 而带余除法表示当中称作除以的商式, 称作除以的余式. 和整数环上引入带余除法之后通常会引入整数同余一样, 在多项式理论中我们也会引入多项式同余. 不过整数同余我们在讲述整环时没有展开说, 也没有严格引入相关记号, 我们把它们挪到这里进行讲解. 之后如果不产生混淆, 只要声明了多项式环所选不定元, 则多项式符号中的不定元我们就略去了, 比如一元多项式环上的多项式多项式简单记作.
定义2.2(同余): 设是域上的一元多项式环, 且, 若和除以所得余式相同, 则称和模同余, 记作.
根据定理2.1, 如果, 我们知道存在和和使得和, 其中. 于是我们有, 或者写成, 换言之. 反过来, 如果我们有, 考虑关于的带余除法和, 则有被整除, 考虑关于的带余除法, 则此时必须有, 于是我们看到.
根据定义, 我们显然有(1) ; (2) 若, 则; (3) 若且, 则. 因此同余构成上的等价关系. 现在若且, 则有带余除法
于是
因此我们看到此时还有
和
这表明同余还构成同余关系. 综上, 由定理2.1我们得到下述推论:
推论2.1.1: 设为域上的一元多项式环, 且, 则
且同余对上的加法和乘法构成同余关系.
除了这个结论以外, 我们考虑域上的恒等映射, 根据引理, 对于任意的, 我们可以将恒等映射扩张成同态, 我们考虑多项式, 因为, 考虑关于的带余除法表示, 则余式次数必须严格小于, 这表明余式一定在当中, 因此我们得到
现在我们考虑, 就有
因此就是关于的余式, 而关于的带余除法表示仅有可能为
因此, 或者说. 另外, 如果, 则, 也就是说, 反过来如果, 则. 因此我们得到
推论2.1.2: 设是域上的一元多项式环, , 为上恒等映射诱导的同构扩张得到的满足的同态, . 则且当且仅当.
之后, 只要我们强调, 则就按照上述操作进行理解, 如果属于的扩域, 则就按照恒等映射诱导的自然嵌入给出的同态扩张进行构造. 最后, 我们引入多项式当中最为核心的概念:
定义2.3(多项式的根): 设是交换幺环上的一元多项式环, 是的扩环, 是上的多项式, 若存在使得, 则称是多项式在中的一个根. 特别地, 我们约定在不指明扩环的情况下, 的根意思是指在上的根.
根据推论2.1.2, 我们看到, 域上多项式在上有根当且仅当, 这表明多项式的根和它的首一一次因式有着密切联系, 如果有一次因式, 则它有根, 反之亦然. 注意到如果且, 则存在使得, 因为这是在域上讨论, 如果我们令, 则此时有
换言之, 此时. 于是我们得到
推论2.1.3: 设是域上的一元多项式环, 且, 则在上有根当且仅当.
这个推论是前面所述有根则的推广, 只要取就退化成前面的结果, 这就彻底将的一次因式和的根联系起来了. 从上述推论出发, 我们还可以得到多项式根的数目的上界:
推论2.1.4: 域上一元多项式环里多项式在上的互不相同的根最多有个.
证: 设是多项式在上的个互不相同的根, 则根据推论2.1.3, 此时有. 设, 则存在使得, 于是, 如果, 则, 此时与相伴, 因此不是真因子. 若, 则为单位, 于是是平凡真因子, 因此是当中的不可约因式, 进而是素因式. 由于, 于是, 注意到
于是我们找到了和使得
考虑到是FID, 因此裴蜀定理成立, 于是上式表明和互素. 或者说. 现在因为且, 因此要么, 要么从而和均为因式, 但是后者已经被我们排除了. 由此, 我们得到
由于是次多项式, 而因式的次数不超过的次数, 因此, 这表明的互不相同的根最多有个.
现在让我们尝试将推论2.1.4进行推广, 即讨论最一般的, 多项式在它的扩环里根的个数与它的次数的关系. 我们设是一个交换幺环, 是上的一元多项式环, 是的扩环, 我们现在对的情况进行分类讨论.
(1) 是无零因子交换环.
因为是无零因子交换环, 根据分式域那一节的内容我们知道可以扩张成分式域, 于是, 进而. 显然, 如果是在里的根, 则也是在当中的根, 但是反过来不成立, 因为无法推出. 于是在当中的互不相同的根的数目不超过在当中互不相同的根的数目, 而根据推论2.1.4, 在当中的互不相同根的数目最多为, 从而在当中的互不相同的根的数目不超过.
(2) 不是无零因子环.
此时我们无法将其扩张为域, 因此无法使用域上的结论. 事实上, 简单的反例可以证明交换环上没有上面的结论. 比如我们考虑这个环上的多项式环, 我们取.考虑多项式, 则, , , , 因此都是的根, 它们互异, 但是. 这就违背了上面的结论.
(3) 不是交换环.
同理, 我们无法将其扩张成域, 同样无法得到上面的结论, 它也存在推论2.1.4的反例. 我们考虑四元数环. 这是我们在第一讲中给出的例子, 这个环不是交换环. 注意到四元数环当中我们要求, 因此多项式的根至少有这三个, 也超过了的次数.
综上, 我们将多项式的互异根的数目与多项式次数的关系推广到了无零因子交换环上:
推论2.1.5: 设是交换幺环, 是它上面的一元多项式环, 是的扩环, 若是无零因子交换环, 则当中互异根的数目不超过.
由推论2.1.4出发, 我们可以得到一个很漂亮的结果, 不过在证明这个结果之前我们需要使用一个关于群元素的阶的结果:
引理2.4: 设是一个群, , 它们的阶分别为. 元素的生成子群的公共元素只有单位元, 且, 则的阶为.
证: 设的阶为, 则有, 因为, 于是. 于是, 而是各自生成子群中的元素, 既然相等, 意味着它们只能属于, 即, 进而. 这表明同时是的倍数, 从而是的公倍数. 另外, 如果是的最小公倍数, 则, 进而, 于是必须是的倍数, 最小公倍数是公倍数的倍数, 只有可能, 于是的阶为. 现在假定的素因数分解分别为和, 其中为不超过的最大素数. 然后设, 则, , 令
则且, 于是是的公倍数. 另外, 对于任意的的公倍数, 必须有, 于是, 即的公倍数是它们任意公倍数的因数, 根据最小公倍数的定义可知就是最小公倍数.
我们不会直接用这个引理, 我们要用的其实是它的推论:
推论2.4.1: 若的阶分别为且, , 则的阶为.
证: 根据引理2.4, 我们只需要证明此时即可. 我们设的阶为, 则存在使得. 显然是的子群, 因此根据拉格朗日定理(子群的阶是群阶的因子), 必须有且, 于是是的公因数, 从而, 而, 于是, 这表明只有一个元素, 那就只有可能是单位元了.
注: 在整环部分我们就说过, 最大公因子是当中满足, 的那个. 类似地, 最小公倍子就被定义为当中满足, 的那个. 容易看到, 对于唯一分解整环(PID), 上面的证明很容易推广为
有了这个推论, 我们可以证明下述命题:
定理2.5: 设是一个域, 是关于乘法的一个有限子群, 则为循环群.
证: 设群的阶为, 是中阶最大的元素且阶为, 之所以这样挑, 是因为我们想要证明是循环群, 于是要证明可以由一个元素生成, 阶越大生成的子群越大, 于是挑最大阶元素作为的生成元是最自然的想法. 现在, 生成的子群为
我们现在尝试证明. 我们考虑中的任意元素. 如果我们能够证明任意的都是上多项式的根 , 因为的互异根最多有个, 于是我们就证明了中元素最多有个, 即, 而根据前面的定义我们本身就有, 于是就能够证明, 这就表明只能是. 而要证任意的都是的根, 即证, 或者说. 这和的阶(也就是元素的阶)满足是等价的, 于是我们只要证明任意的阶都是的因子即可. 我们用反证法完成证明.
假设, 注意到均为正整数, 我们可以使用算术基本定理对它们进行素因数分解, 不妨设它们的素因数分解分别为, , 这里是不超过的最大素数, 指数可以取零. 假定对任意的总有, 则必然为的因子, 这就与矛盾了. 因此必然存在某个使得, 此时我们就可以将和写成和, 其中, 是一个素数, 为两个正整数且不含因子, 这表明, 现在我们从这些结论中推出矛盾来.
因为的阶为, 于是, 即或者说. 因为不存在比小的正整数使得, 于是不存在比更小的正整数使得(如果存在, 我们就找到了使得, 这就矛盾了), 于是的阶为. 同理, 的阶为. 注意到是交换幺环的下乘法的子群, 于是也是交换群. 因此. 因为, 于是, 根据推论2.4.1我们就知道的阶为. 但是, 于是我们看到中元素的阶比大, 这与我们假设是元素最大阶矛盾! 因此假设不成立, 此时必须有. 这就完成了证明.
如果我们将这个定理应用到有限域上, 则因为(作为乘法群)就是它的有限子群, 我们立刻得到
推论2.5.1: 设是有限域, 是它的非零元关于乘法构成的乘法群, 则必然是循环群.
这个推论表明, 有限域一定是在循环群上引入加法和零元实现的. 这就是给我们提供了有限域结构的一个直观感受. 不过这个系列我们不准备展开域论的理论, 因此虽然这个结论对研究域的结构相当重要, 但是我们后面估计不会遇到它(或许在番外当中我们会提及一下).
接下来我们更进一步讨论域上一元多项式的根的问题. 通过根, 我们很容易将两个多项式联系在一起: 只要它们有公根即可, 即存在相同的根. 设是域上一元多项式环里面的两个多项式且有公根, 则根据推论2.1.3, 我们知道这当且仅当且,这意味着两个多项式有公根, 当且仅当这两个多项式有一次公因式. 之后我们用表示的最大公因式集当中的首一多项式, 由于最大公因式相差一个单位, 而的单位为, 因此必然是唯一的, 它是中的多项式乘以首项系数的逆之后得到的多项式. 于是上面的黑体结论意味着: 有公根的两个多项式满足
这意味着和必然不是互素的, 因为如果互素则. 但是两个互素的多项式未必就一定有一次公因式, 于是两个多项式不互素是它们有公根的必要不充分条件. 不管怎么样, 我们已经看到, 不互素对多项式有公根很重要, 因此我们需要找到不互素满足的条件.
定理2.6: 设是域上一元多项式环当中的非零多项式, 则不互素的充要条件为存在非零多项式使得, 其中, .
证: 首先证明必要性. 若不互素, 令, 则且存在使得, . 于是
同理可证明. 并且此时有
这就证明了必要性.
接下来证明充分性. 假设条件成立但是互素, 即, 则根据PID中的裴蜀定理, 我们知道存在使得
于是
这意味着. 这与条件矛盾! 因此假设不成立.
上面这个定理给出了两个多项式不互素的充要条件, 但是这是一个存在性命题, 在真实情境下去寻找满足条件的和往往是很困难的, 我们自然期待将这样的存在性命题转化为一种具有操作性的命题, 由于多项式的本质在其系数,我们自然想知道是不是可以直接根据两个多项式的系数判定它们是否互素. 考虑到多项式在降幂排列的时候首项很明显, 于是我们将和按照降幂排列如下:
假定, 则根据定理2.6我们知道存在多项式和使得
其中, . 也就是说最多是次多项式, 既然如此,我们就可以设
注意这里首项系数和我们没有强制要求其非零. 现在我们将的形式代入到定理2.6给出的那个等式当中, 注意到等式两边的最高次数均为, 于是
等式两边相等, 而多项式相等的充要条件是对应次数项的系数相等, 即必须有对于任意的成立. 现在的问题在于和的表达式, 如果我们令,则和具有类似的形式, 只要交换即可. 因此我们只要求出其中一个的表达式, 则另一个的表达式立刻就得到了. 这里我们求的表达式. 我们令, 则
比较一下,我们就有
进而
我们将写成, 则我们得到
这是一个以为未知数的个方程构成的线性方程组, 不失一般性,我们设, 则上述方程组为
我们引入矩阵如下(左右滑动观看全貌):
这里第一行和第一列用来标明行号和列号, 不是具体的矩阵元. 引入该矩阵之后,我们可以将上面的个方程表述为
其中. 因为我们要求存在且不能同时为零(否者就会得到的矛盾), 因此我们要求上述方程必须存在非零解, 线性代数告诉我们这当且仅当时成立, 而, 因此我们看到两个多项式不互素当且仅当上面的那个行列式等于零. 注意到行列式可以任意交换行和列, 结果只是相差一个正负号. 并且我们可以将对同一行提取公因式, 于是上面的这个矩阵的行列式和前面的行是的系数, 并且每经过一行系数后移一位, 后面的行是的系数,同样每经过一行, 系数后移一位得到的行列式:
只相差一个正负号, 换言之
我们将这里构造出来的称作多项式的结式, 上面的结论最终总结为下面的定理:
定理2.7: 域上的两个多项式不互素当且仅当它们的结式.
我们来看两个例子, 第一个例子是不互素的例子:
例2.7.1: 考察多项式和. 注意到, 因此我们可以找到和使得且, 满足定理2.6的要求, 因此我们知道和不是互素的. 如果使用结式, 则注意到
于是根据定理2.7我们同样得到不互素的结论.
第二个例子是互素的例子:
例2.7.2: 设, , 则
因此这两个多项式互素.
总结前面的内容,我们看到, 如果, 则两个多项式不互素, 于是它们有一次及一次以上的公因式, 但是这无法推出它们有一次公因式,也就是有公根. 不过当我们只关注复数域上的多项式的根的情况的时候就好多了, 因为代数基本定理(证明可以参考任何一本高等代数教材, 或者在网上搜索)告诉我们复数域上的一元多项式只要有公因式, 则一定有一次公因式, 于是它们就有公根. 于是我们看到:
推论2.7.3: 复数域上的两个多项式有公根的充要条件是.
就比如前面的例2.7.1, 利用求根公式我们可以看到的两个根为和, 或者写成和, 这而恰好就是三次单位根, 即, 于是我们看到和有公根和.
结式的一个重要的理论应用就是它提供了复数域上多元多次方程组的理论解法. 首先, 假设我们知道如何找到一元多次方程的所有根以及求解一元多次方程组(我们知道五次及五次以上一元方程没有根式解, 因此这个假设其实很难满足, 但是我们总是可以利用诸如牛顿法等方法求近似解, 因此我们不妨认为这个假设已经得到了满足). 接下来我们来求解二元多次方程组:
首先, 我们总是可以将中的视作参量, 从而将看成是关于参量的一元多项式, 同理将看作关于参量的一元多项式. 上述方程组有解的条件是存在公根, 于是根据推论2.7.3我们就有
这是关于的一元多项式方程, 根据假设, 我们可以解出所有的来, 然后将每个可能的代入原本的方程组中就得到了关于的高次方程组, 我们解对应的方程组就得到了解. 既然我们可以求解二元高次方程组了, 那么三元高次方程组
也是类似地, 我们首先固定, 就可以得到, 这是关于的方程组, 我们解出来后代入原本的方程就将其变成了二元方程组, 而现在二元方程组我们已经可以求解了, 于是理论上上面的这个方程组我们也可以解出来了. 以此类推, 我们可以求解多元多次方程组.
结式的另一个理论应用就在于判定复数域上多项式的重根的问题: 设是域上的多项式, 我们说是它的重根是指
这个关系式成立. 现在我们假定是复数域上的多项式且有重根, 则有且. 因此存在多项式使得
复数域有良好的的代数结构, 我们给它两边同时对求导, 就有
于是我们看到. 换言之, 同时是的重根. 因此我们看到复数域上多项式有重根等价于和有公根, 于是根据推论2.7.3, 此时必须有
现在我们考察二次多项式
根据上面的结论, 有重根(自然只有可能是二重根)的充要条件就是
因为, 因此上式等价于, 而这个式子恰好就是我们在二次方程中碰到的判别式, 可见有着类似于二次方程判别式的作用. 事实上, 在多项式理论当中, 我们有:
定义2.8(判别式): 设是复数域上的次多项式, 则称为它的判别式.
如果我们要求这里的导数是形式计算, 即规定:
则可以去掉上面定义中对复数域的要求得到一般域上多项式的判别式的定义. 这里前面的系数是为了和其它理论一致起见引入的. 于是我们现在就有
定理2.9: 复数域上多项式有重根当且仅当.
仍旧拿二次多项式为例, 则我们看到这里定义的判别式和我们中学中学到的判别式之间的关系为
有了上面的结果, 我们现在还能看到三次多项式重根的判别式
当然, 这个行列式计算起来很麻烦, 因此我是用Mathematica得到的.
至此, 域上一元多项式的基本理论我们就讲解完了. 下一节我们来看唯一析因环 UFD上的一元多项式环, 这是整数环上的一元多项式环上理论的推广.
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