有些多值函数 , 可以通过取主值来变成单值函数 , 但是会失去一些性质 .
例如 , 正实数的算术平方根 , 就是最常见的取主值的方法 , 但如果拓展到复数 , 每个非零复数也都有两个平方根 , 而无论你怎样规定复数的平方根“取主值”的规则 , 所得到的函数都无法连续 , 且无法满足 的性质 .
还有一个经典题目 , 可以用来诠释主值的非封闭性 , 即证明不存在函数 满足对所有 都有 .
此题的一种经典证明如下 , 的不动点是 和 , 而 的不动点除了 和 之外还有 和 , 其中 是一个虚的三次单位根 . 则有 和 . 因此一方面有 , 故 本身也位于 的不动点之列 . 另一方面由于 , 故 , 因此 不是 的不动点 , 进而 只能等于 或 . 如果 , 则与 矛盾 . 如果 , 再来看 , 则 , 这和 矛盾 .
也就是说 , 对于给定的函数 , 若是 的不动点但不是 不动点的个数是有限的且不是 的倍数 , 则不存在 使得 (并不知道如果是 的倍数是否一定存在这样的 ) .
当然 , 在实数范围内只要规定 , 就可以满足 了 , 同时这个例子也说明了在复数范围内对于多值函数 不存在一种取主值 的方式使得总能有 , 这里我们用首字母大小写区分多值函数和其取主值后的单值函数的表记方法 .
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