抽象代数中的环论（第三篇）：为推广带余除法和裴蜀定理分别引入欧几里得环与主理想整环

引言:

 环论的研究是基于对整数的结构的一般化得到的, 作为环的母体, 具有非常多优良的性质. 并且向的扩充也是抽象代数史上一种研究思想的范例. 因此, 这一节, 让我们聚焦整数环, 从的一些重要的性质: 带余除法定理, 唯一析因定理, 可以使用辗转相除法等来研究能够给出这些性质的环. 然后想办法将扩充到域的行为推广到更为一般的环上去.

    整数环里乘法是交换的, 并且存在幺元, 于是整数环是交换幺环. 另外只要, 则, 于是整数环还是无零因子环. 进而我们看到整数环是交换整环. 这样强的代数结构给整数环带来了诸多漂亮的性质. 我们接下来便来依次阐述它们并想办法让得出这些结论的条件变得更弱一点.

1. 整数的带余除法到欧几里得环

    在小学的时候我们学过这样的一个关系式:

这个关系式可以转化为

小学的时候这个关系式是通过一些很直观的概念引入的, 而且在此之后这个关系式就变成了一个很基本的结论, 几乎没有人关注过它的证明, 除非参加竞赛或者相关选修课或者学习《抽象代数》这门课(有的时候《高等代数》课程也会涉及一点儿). 那我们就从证明这个关系式开始:

定理1.1(整数的带余除法定理): 设且, 则存在唯一一对整数使得

其中被叫做关于的余数, 叫做关于的商. 如果, 则称整除或者被整除, 记作, 反之, 则称不整除或者不被整除, 记作.

证: 我们首先证明存在性. 我们构造集合如下:

如果, 则只要就必然有; 若, 则只要则有. 因此上述集合一定是非空的. 而是自然数集的子集, 根据良序原理(该原理指出自然数集的任意非空子集必然存在最小值), 中存在最小值.  现在我们证明, 假舍这个结论不成立, 即, 则, 则

这里是符号函数, 当的时候, 当的时候, 当的时候. 因为, 于是, 但是, 这与是的最小值矛盾! 因此假设不成立, 于是.

    接下来我们证明唯一性. 假定有两个不同的分解, 其中, 并且. 于是我们有

也就是说

因为两个分解是不同的, 因此(否则带来得出两个相同的分解), 于是, 另一方面, 因为, 于是

即. 换句话说. 即, 即, 这就产生了矛盾, 因为是非零整数. 因此假设不成立, 换言之分解是唯一的. 

    整数的带余除法定理几乎是所有整数相关命题的出发点, 在整数的研究当中居于核心地位, 如果我们能够在其它的环当中也得到类似于带余除法的东西, 整数的很多定理都可以推广到那些环当中去.

    然而仔细审查带余除法定理的表述, 我们首先就遇到一个问题: 带余除法的核心在于分解的唯一性, 如果我们在表述中不增加的限制, 则唯一性就没有了, 因此不是关键, 关键在于对的限定. 可是一般的环没法定义大小关系(序关系), 所以就没法给出类似的限制. 不过, 这也提醒我们, 如果能够对环定义序关系, 则问题就解决了一大半了.  因为整数环是带有序关系(而且是全序)的交换整环, 推广的第一个方向就是将序关系直接去掉, 使序关系成为间接条件.  这里的间接条件的含义就是通过映射搭建起序关系, 这就给出了下述推广方向:

定义1.1(欧几里得环): 设是一个交换整环, , 若存在映射使得对于任意的存在使得, 其中, 我们就称是欧几里得整环, 简称欧几里得环(简单记做ED). 定义中的映射被称作欧式映射.

    既然是推广, 我们首先就得说明整数环是欧几里得环的特例:

例1.1.1: 构造映射, 则根据整数的带余除法定理我们知道的分解当中, 即, 这就是. 因此整数环确实是欧几里得环.

    需要注意的是, 这里我们只要求了分解的存在性而没有要求唯一性. 我们这么做的原因是在整数环当中, 限制的范围后唯一性就自然蕴含其中了. 那么是否这个想法对于所有的欧几里得环都成立呢? 答案是否定的, 而且这个反例恰好还就是我们在例1.1.1给出的构造.

反例: 考虑例1.1.1给出的让变成欧几里得环的映射. 则, 此时没有问题. 但是我们还可以写, 此时. 因此欧几里得环下分解不见得是唯一的.

    那么问题出在哪里了呢? 其实就出现在定义和定理表述的差异上了, 在整数的带余除法中我们要求, 但是欧几里得环只是要求, 少了左半边. 那么补上左半边? 可以是可以, 但是这使得我们能够处理的问题一下子少了很多, 我们总是优先考虑条件比较弱的结构, 这样得到的结果才足够强. 这个反例还可以给出更多的信息, 比如说我们还可以对进行分解, 但是需要注意的是这个不是带余除法, 因为带余除法要求. 这个例子告诫我们

当我们写下的时候不要先天性地就认为, 因为不是所有的分解都是带余除法.

    在继续后面的内容之前, 我们再来看一个极具典型性的例子:

例1.1.2: Gauss整数环是欧几里得环.

证: 为了证明这一点, 我们就必须在上构造出想要的那个映射来, 而且还得给出带余除法. 这并不是一件容易的事, 我们只能靠猜. 不过猜也是有技巧的, 因为想要构造的那个映射要能够使得两个复数可以比较大小, 那么按照我们的经验, 复数的模是个好选择, 它也是整数的绝对值的推广. 但是问题来了, 的模可能是个无理数, 这不符合我们的要求. 不过问题不大, 不取根号不就完事儿了嘛. 因此我们尝试令.

我们令, 则根据定义, , 这里是的复共轭. 因为复数域上乘法可交换, 我们有

我们很快就会用到这个关系式.

现在让我们想办法构造带余除法, 设且, 我们需要找到使得且. 假定, 若, 则我们只需要取, 即可. 此时一定小于, 因为导致. 于是我们只需要考虑和不存在这种关系的情况, 为此, 我们需要使得不等式

成立的. 接下来的操作极具技巧性. 我们将扩张到上, 定义不变, 依旧是, 于是依旧成立.  扩张之后, 注意到, 于是利用我们将不等式转化为, 即

所以我们的目标转化为找到使得上式成立的. 注意到对乘法封闭, 考虑复数的性质, 注意到在中每个非零元素都有逆元素

因此是域(这其实就是后面我们将要介绍的分式域). 于是如果

则我们只要在有理数附近找整数, 则就有可能是我们需要找的. 有了思路就沿着这个思路往下走即可. 既然是找有理数附近的整数, 则只要找它的邻域内的整数即可, 这个整数是唯一的. 具体地, 我们令为满足

的那两个整数. 则

满足我们的要求. 至此, 对于任意的, 我们都找到了使得且.  

 可以证明, 当且仅当的时候的时候是欧几里得环. 更一般地, 作为欧几里得环的情况中的可能取值是有限的, 但是证明不易, 我们就不谈了.

    对于欧几里得环, 我们给出如下常用性质:

命题1.2: 设是欧几里得环, 是对应的欧式映射, 且满足对任意的成立, 则有, .

证: 注意到, 于是根据已知的关系式得到

我们可以证明一定存在使得, 因为假设如果任意的都有, 假设, 则根据欧几里得环的定义, 我们知道存在使得且. 但是根据假设, 所有的都有, 于是, 这就与欧几里得环的定义矛盾了. 既然如此, 我们就挑使得的来进行分解即可. 既然, 我们两边同时除以就得到了.

    接下来注意到对于任意的, 我们都可以对进行带余除法: , 此时, 因此必然有. 现在我们来证明. 假定, 则我们还可以考虑的带余除法, 根据定义需要有, 这就矛盾了! 这说明只能是. 于是我们证明了.  

     上面的证明过程的后半段其实可以推广到下述命题:

命题1.3: 设是欧几里得环, 是它对应的欧几里得映射, 若, 则.

证: 若但是, 则对于任意, 我们可以作带余除法, 于是, 这是不存在的! 因此假设不成立, 即有. 

    我们前面提到欧几里得环丧失了带余除法表示的唯一性, 但是它还是保留了一点点东西的, 这个东西也是相当的重要, 那就是辗转相除法, 在介绍它之前, 让我们先把整除的概念从整数推广到一般的交换整环上去.

定义1.4(因子与倍子): 设是一个交换整环, , 如果存在且使得, 我们就称是的因子, 或者整除, 记作, 反之, 则记.  若满足且, 我们就说是的公因子. 将的所有公因子的集合记作. 如果是的因子, 我们也称是的倍子, 换句话说, 是的倍子是指. 假定且, 则同时是的倍子, 称作的公倍子. 我们将公倍子的集合记作.

    我们很容易发现整除的一些性质:

性质1.4.0(自反性与反自反性): 设是交换整环, , 则, , .

证: 因为交换整环存在幺元, 满足, 于是. 考虑到加法逆元的存在性, 我们其实还有(这些都是第一讲的结论), 这里. 换言之, 我们看到. 同理, 由于, 于是我们还有.  

性质1.4.1(传递性): 设是交换整环, 且, , 则.

证: 因为, 所以存在使得. 同理存在使得, 从而, 其中. 于是根据定义得到. 

    结合传递性和反自反性我们立刻得到下面一个性质:

性质1.4.2: 设是交换整环, 满足, 则, .

证: 根据反自反性我们得到 , 而, 于是根据传递性就有. 由此出发, 我们知道存在非零使得, 于是, 从而. 

    有了上面这个性质, 我们就可以得到一个更为一般的结论:

性质1.4.3: 设是交换整环, 且, , 则对于任意的整数, 有, 反之亦然.

证: [必要性]我们首先证明下述命题:

这很容易, 因为存在使得, 于是, 因为环对加法封闭, 于是存在使得, 进而, 于是.  另外, 根据性质1.4.2, 给出, 于是我们类似的可以证明.

    有了这个基础, 注意到的定义

我们就可以证明. 比如就可以通过自反性和上面的命题给出的实现证明, 以此类推使用trivial的归纳法就证明了.

    现在由使用传递性给出. 同理给出, 最后结合最开始的那个命题我们就有.

    [充分性] 只需要令即可得到, 令即可得到. 

 上面这个命题我们要求, 那么对于是否也有同样的结论呢? 答案是肯定的,

性质1.4.4: 设是交换整环,  且, 则对任意有.

证: 我们只需要证明对任意成立即可. 注意到, 于是存在使得, 从而, 于是我们找到了使得, 从而对任意成立. 然后根据前面证明过的即可得到待证命题. 

性质1.4.5: 设是交换整环, 且, 则对于任意的成立, 反之亦然.

证: [必要性] 因为, 于是存在非零使得, 于是, 根据第一节给出的性质, 我们有, 于是, 因此.

    [充分性] 因为对所有成立, 只要取则得到. 

 同样地, 上面这个性质当的时候也是成立的, 证明过程完全相同.

性质1.4.6: 设是交换整环, 且, 则对任意均有.

    下面这个结论很重要, 它揭示了交换整环中一个重要的成分.

性质1.4.7: 设是交换整环, 且, 则, 其中是中的任意一个可逆元素.

证: 若, 则由于我们知道存在非零使得, 于是. 同理, 如果则有. 此时成立. 因此而接下来我们假设, 因为这是整环, 从而是无零因子环, 进而且.

    由我们知道存在非零使得, 同理存在非零使得, 于是, 即. 因为且无零因子, 因此只能有, 即. 这意味着是可逆的, 我们不妨将其中一个记作(比如说), 则另一个就是.  因此我们得到且.

    为了完善这个证明, 我们还得说明交换整环可逆元素的存在性以及上述证明过程中的任意性. 注意到, 因此是环的一个可逆元素. 于是存在性得证. 至于任意性, 我们用反证法, 假设存在某个可逆元素使得但是和中有一个不成立. 但是注意到如果可逆, 则自然意味着, 从而且. 这就矛盾了! 

    根据这个性质, 交换整环的可逆元素有着重要应用, 我们单独将其拿出来并引入相关定义:

定义1.5(单位与相伴): 设是交换整环, 若存在逆元素, 我们就称其为单位. 将交换整环的所有单位的集合记作或者简写为. 若存在使得, 我们就称和相伴, 并将其记作.

注1.5.1: 根据前文的叙述, 任何交换整环都至少有一个单位, 于是非空. 事实上, 因为, 因此也是一个单位. 因此至少有两个元素和, 但是这两个元素有可能相同.

注1.5.2: 根据性质1.4.7, 我们知道, 如果且, 则, 这里是单位, 从而. 反过来, 如果, 则存在单位使得, 进而, 于是且, 换言之**当且仅当且**.

注1.5.3: 设是交换整环的所有单位的集合. 设, 则, 于是也是可逆的, 其逆元为. 换言之对环中乘法封闭. 考虑到内环乘法结合律继承了交换整环中一般环的结构, 单位元继承了交换整环中幺环的结构, 交换性继承了交换整环中交换环的结构, 此外意味着则, 于是每个单位在中都有逆. 于是实际上构成一个交换群, 称作原本交换整环的单位群.

注1.5.4: 根据相伴的等价定义

由整除的自反性我们得到. 由整除的传递性我们得到. 另外由上面的定义显然得到对称性. 于是相伴关系满足自反性、对称性和传递性, 从而是上的等价关系. 根据这个等价关系我们可以将交换整环划分为一个个的等价类, 的等价类我们记作, 于是意味着存在单位使得.

注1.5.5: 对于交换整环, 与相伴的元素只有. 因为意味着存在单位使得, 于是. 因此在相伴关系下.

注1.5.6: 设, 则存在使得, 于是, 而是群, 于是存在使得, 换言之. 反过来, 假设, 则存在单位使得, 注意到, 于是可以表示成的乘积. 这表明相伴关系相对于环的乘法还是同余关系(即), 于是.

注1.5.7: 设是单位, 则对于任意的均有, 其中. 于是我们看到对任意的都成立.  另外, 如果, 则意味着, 因此对于任意元素, 与之相伴的元素以及单位都是它的因子, 这些因子我们称之为平凡因子.

注1.5.8: 设是单位, 注意到, 于是. 反过来, 若, 则存在单位使得, 于是也是单位且因为自成一类, 于是意味着, 即. 因此我们得到是单位当且仅当(或者写成).