我们打算适当补充一下代数几何中的曲线和曲面专题 . 本文是代数几何中的曲线和曲面专题的补充篇(上) , 主要内容是相交理论，Chow 环和 Chern 类 , 原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 , 更多精彩内容请关注：

代数几何之曲线和曲面专题补充(上)

1.相交理论

《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》一文中的定理1——曲面上的相交理论可以概括为存在唯一的一个对称双线性配对 , 并根据下面的要求进行法化 , 即对于两条横截相交的非异曲线 和 , 正好是 与 的交点的个数 , 而证明该定理的主要工具是《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十五篇：微分(上)——微分形式模与微分形式层》中的定理18—— Bertini 定理 , 即对于任意两个除子 , 在它们的线性等价类中移动 , 使得它们成为横截相交的不可约非异曲线之差 . 但高维的情形相当复杂 , 相对应的移动引理(moving lemma)稍微弱了一些 , 故我们需要一个较强的法化要求 , 事实上可以看到推广后的相交理论的最合适的方式竟然是同时对所有的代数簇进行讨论 , 且态射 的相伴映射 和 也作为结构部分被包括在内 .

设 是域 上的任意代数簇 , 而 上的一个余维数为 的元指的是由 的余维数为 的不可约闭子簇生成的自由 Abel 群中的一个元 , 故可以将一个环元表示为 , 其中 为子簇且 , 然后我们还要给出一个有用的概念——与闭子概形相伴的环元 , 即设 是余维数为 的闭子概形 , 是 中所有余维数为 的不可约分支 , 则定义 为相伴于 的环元 , 其中 是 在 的广点 的局部环 的长度 .

设 为代数簇之间的态射 , 而 为 的子簇 , 如果 , 那么我们令 , 如果 , 那么函数域 是 的有限扩域 , 于是令 , 进而由线性扩张便确定了从 上的环元构成的群到 上的环元构成的群的同态 .

现在我们来定义有理等价性 , 对 的任意子簇 , 设 为 的正规化 , 且 满足它是 Noether 整的可分离代数簇且在余维数为 的情形下是正则簇 , 这样一来我们就可以根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第七篇：除子(1)—— Weil 除子》中定义1和定义4来讨论 上的 Weil 除子以及线性等价问题 , 当 是 上线性等价的 Weil 除子时 , 称 和 为 上有理等价的环元 . 一般情形下 , 对所有的子簇 以及所有 上线性等价的 Weil 除子 , 使得 生成了等价关系 , 在这个等价关系下就可以定义 上环元的有理等价性 , 特别地当 本身是正规概形时 , 余维数为 的环元的有理等价性与 Weil 除子的线性等价是一致的 .

对于每一个 , 我们令 是 上余维数为 的环元的有理等价类群 , 且用 表示分次群 , 其中 . 注意到 和当 时有 , 而当 为完全簇时 , 存在一个自然的从 到 的群同态 , 我们称之为次数 , 它由 来定义 , 其中 是点 , 故根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第八篇：除子(2)——曲线上的除子》中的推论10可知 , 这个定义在有理等价类上意义明确 .

在一个给定的簇类 上 , 一个相交理论由对每一个 和每一个 给出一个配对 构成 , 这些配对满足下面所列出的公理 . 如果 和 , 那么我们用 表示相交环元类 . 在叙述公理前还需要声明一个定义 , 对于 中的代数簇之间的任意态射 , 假设 仍然在 中 , 则可以定义一个同态 如下 , 即对于子簇 有 , 其中 （此处的P_2改为p_2）分别是从 到 的投射 , 而 是 的图同时可以将它视为 上的环元 .

下面我们来列出相交环元需要满足的公理 .

(i) 相交配对使得 对每个 成为一个交换的可结合分次环且具备幺元 , 则称为 的 Chow 环 .

(ii) 对于 中的代数簇之间的任意态射 , 则 是环同态 , 如果 是另一态射 , 那么 .

(iii) 对于 中的代数簇之间的任意态射 , 则 是分次群同态即移动次数 , 如果 是另一态射 , 那么 .

(iv) 投射公式：如果 是本征态射 , 且满足 和 , 那么 .

(v) 化为对角：如果 为 上的环元 , 且 为对角态射 , 那么 .

(vi) 局部性质：如果 和 是 的子簇且它们整除相交 , 这里的正常相交指的是 的每个不可约分支的余维数都等于 , 则有 , 其中 是对于 的所有不可约分支求和 , 整数 仅依赖于 的广点在 中的邻域 , 并称 为 和 在 的局部相交重数 .

(vii) 法化：设 是 的子簇 , 是与 正常相交的有效 Cartier 除子 , 则 正好是与 上的 Cartier 除子 相伴的环元 , 其中 在 上是由 的局部方程限制在 上定义的子概形 , 这个特别地表明横截相交的非异子簇的重数为 .

定理1：设 是某个给定代数闭域 上的非异拟射影簇类 , 则对于簇 上的有理等价环元类 , 存在一个唯一的相交理论满足上面的公理(i)~(vii) .

定理的证明主要有两部分 , 一个是局部相交重数的正确定义 , 另一个是 Chow 的移动引理 . 事实上我们有许多方式来定义相交重数 , 这里我们只给出 Serre 的定义 , 如果 和 正常相交 , 且 为  的一个不可约分支 , 那么定义 , 其中 是 的广点在 上的局部环 , 而 分别是 在 中的理想 . Serre 在他的专著《Algèbre Locale——Multiplicités(rédigé par P.Gabriel)》中在证明了这是一个非负整数且具备上述所要求的性质 , 值得注意的是 , 按照曲面上的曲线情形 , 取 作为自然的定义对于定理1而言是行不通的 . 而 Chow 移动引理指的是如果 是非异拟射影簇 上的环元 , 那么存在一个有理等价于 的环元 使得 正常相交 , 另一方面如果 是另一个这样的环元 , 那么 和 有理等价 , 详细内容可以参考 Chevalley 的专著《Anneaux de Chow et Applications》和 Roberts 的文章《Chow's moving lemma in Algebraic Geometry》中关于 Chow 移动引理的证明 .

而相交理论唯一性的证明如下 . 给出 上的环元 和 , 由 Chow 移动引理可知 , 可以假定 正常相交 , 于是根据化为对角公理可知 , 问题可以转化为在 上计算 的形象 , 这样做的好处在于 , 由于相交重数是局部性质 , 故可以转化到其中一个环元为 Cartier 除子的完全交的情形 , 然后重复利用法化公理就可以证明唯一性 .

关于相交理论的一些一般性的参考文献 , 我们在这里罗列一下 , 有 Weil 的专著《Foundation of Algebraic Geometry》 , Chevalley 的专著《Anneaux de Chow et Applications》 , Samuel 的专著《Méthodes d'Algèbre Abstraite en Géométrie Algébrique》和 Serre 的专著《Algèbre Locale——Multiplicités(rédigé par P.Gabriel)》 . 至于环元的一些其它等价关系的讨论和计算群 的尝试则可以参考 Hartshorne 的专著《Equivalent relations on algebraiccycles and subvarieties of small codimension in Algebraic Geometry》 .

然后我们有必要对上面的定理1作一些补充说明 . 为了体现出高阶 函子的必要性 , 设 是 中两个交于一点的平面的并 , 则 的理想 , 令 为平面 , 由于 与 的每个分支都交于一个点 , 故根据线性性质可知 , 但如果我们以自然的方式取为 , 其中 和 分别是 的理想 , 于是得到

且它的长度等于 . 我们不能期望在奇异簇上有一个类似于定理1那样的相交理论 , 设在 中由 定义的二次圆锥面 上有一个相交理论 , 令 为直纹线 , 为直纹线 , 则 线性等价于超平面截影 , 它可以视为 上的一条圆锥曲线 , 其中 与 横截相交于一个点 , 故有 , 进而根据线性性质可以得到 , 它不是整数 .

2. Chow 环的性质

对于任意非异拟射影簇 , 我们考虑它的 Chow 环 , 并罗列一些性质 , 具体的证明可以参考 Chevalley 的专著《Anneaux de Chow et Applications》 .

(i) 由于余维数为 的环元就是 Weil 除子 , 以及有理等价性等同于线性等价性 , 且 为非异簇 , 故 .

因此当 是非异射影曲面时 , 我们可以用配对 与次数映射的合成来重新得到《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》一文中的定理1的相交理论 .

(ii) 对于任意仿射空间 , 到第一分量的投射 诱导出同构 .

(iii) 正合性质：如果 是 的非异闭子簇 , 且满足 , 那么有正合序列

其中 是包含映射而 是另一个包含映射 .

以上两个结果的证明类似于除子对于结果的证明 , 即《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第七篇：除子(1)—— Weil 除子》中的命题5和命题6 . 事实上我们还有 , 其中 是次数为 的超平面类 , 这个结果的证明可以由上面的性质(ii)和(iii)归纳地进行 , 或者直接证明 中的 次子簇有理等价于一个维数相同的线性空间乘以次数 .

下面这个性质对于后面关于 Chern 类的定义是相当重要的 .

(iv) 设 是 上秩为 的局部自由层 , 而 是相伴的射影空间丛 , 同时令 为对应于 的除子类 , 而 为投射 , 则 使得 称为由 生成的自由 -模 .

3. Chern 类

在这里我们会按照 Grothendieck 在《La théorie des classes de Chern》中的处理方式 . 首先我们来给出相关的定义 . 设 是非异拟射影簇 上秩为 的局部自由层 , 对于每一个 则按照下面的要求定义第 个 Chern 类 , 即 以及在 中满足 , 这里我们使用了上一节性质(iv)中的记号 , 这样一来这个定义是有意义的 , 即我们可以将 表示为 的唯一线性组合 , 而系数则通过 的作用在 中 .

接下来我们罗列 Chern 类的一些性质 , 为了方便起见 , 定义总 Chern 类为

以及 Chern 多项式为

(i) 如果 , 其中 为某一除子 , 那么 . 实际上此时 和 , 故 , 由上面关于 Chern 类的定义就有 , 即 .

(ii) 如果 为态射 , 为 上的局部自由层 , 那么对于每个 有 , 这个结果可以由 的构造和 的函子性质推出 .

(iii) 如果 为 上局部自由层的正合序列 , 那么有 .

暂时把关于 Chern 类的定义撇开 , 我们可以证明存在一个唯一的 Chern 类理论 , 它对于 上的每一个局部自由层 指定一个 满足上面的性质(i)~(iii) , 至于唯一性的证明 , 以及性质(iii)和下面的性质(iv)~(vii)的证明 , 都可以利用分裂原理 . 分裂原理是指给出 上的局部自由层 , 存在一个态射 使得 为单同态且使得 可分裂 , 这意味着存在一个滤链 , 它的相邻层的商层全部为可逆层 , 于是就有下面的性质 .

(iv) 如果 可分裂且它的滤链以可逆层 为商层 , 那么有 , 事实上我们可以由上面的性质(i)计算出每一个 .

利用分裂原理 , 也可以计算张量积 , 外积和对偶局部自由层的 Chern 类 . 我们设 的秩为 和 的秩为 , 接下来记 和 , 其中 仅仅是形式符号 , 于是就有下面的性质 .

(v) 张量积 , 外积和对偶局部自由层的 Chern 类分别为

当我们将性质(v)中的这些表达式展开后可以发现 的每一个幂前的系数都是 和 的对称函数 , 而这些表达式是有意义的 , 如果用关于对称函数的定理 , 那么它们可以表示为 和 的初等对称函数的多项式 , 事实上这些初等对称函数正好是 和 的 Chern 类 , 至于这些表达式的罗列表可以参考 Hirzebruch 的专著《Topological Methods in Algebraic Geometry》中的第一章第4节 .

(vi) 设 是 上秩为 的局部自由层 , 而 是 上的一个整体截影 , 则 定义了一个同态 , 它将 映为 , 于是我们定义 的零点概形为 的一个闭子概形 , 它由正合序列 来定义 , 其中 是映射 的对偶映射 , 如果 的相伴环元仍然用 表示 , 那么当 的余维数为 时就有 .

这样的结果推广了《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十二篇：射影态射(3)——线性系》中的命题7 , 即可逆层的截影给出了对应的除子 .

(vii) 自相交公式：设 是 的余维数为 的非异子簇 , 为 的法层 , 令 是包含映射 , 则有 , 然后我们应用前面的公理(iv)——投射公式可知 , 在 上有 .

这个结果是由 Mumford 给出的 , 它推广了《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》一文中的例1 , 即曲面上曲线情形下的自交公式 , 更详细的内容可以参考 Lascu , Munford 和 Scott 的文章《The Self-intersection formula and the formule-clef》 .

参考文献和推荐阅读：

Robin Hartshorne . Algebraic Geometry . Graduate Texts in Mathemarics . Springer . Vol . 52 .

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