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我们紧接着《电动力学之电磁场的辐射(2)——电偶极辐射和短天线辐射》继续讨论 , 本文是电动力学之电磁场辐射专题系列第三篇 , 主要研究磁偶极辐射和电四极辐射 .
5.高频电流分布的磁偶极矩和电四极矩
现在我们研究辐射场矢势的展开式的第二项
当电流分布的电偶极矩为零时 , 即 , 上面的辐射场矢势的展开式的第二项变为主要项 , 事实上辐射场矢势的展开式的第二项表示磁偶极矩和电四极矩产生的辐射 . 在恒定的情形中 , 小区域内的电荷分布激发电多极场 , 电流分布激发磁多极场 , 而在交变情形中 , 由于电流一般不闭合 , 电流分布与电荷分布通常用电荷守恒定律 相联系 , 故一般来讲上面的辐射场矢势的展开式的第二项包括电荷分布的贡献和磁矩分布的贡献 , 我们需要将这两者分离开来 .上图表示两种不同的电流分布 , 左图所示的线圈中 , 当各点处的电流以相同振幅和相同相位振荡时 , 每一时刻都满足 , 此时电流分布是闭合的 , 线圈上不具有净电荷 , 故线圈上的振荡电流所产生的辐射是纯磁多极辐射 , 右图所示的是四个导体球组成的体系 , 它们用细导线相连 , 当导线上具有振荡电流时 , 在四个导体上交替出现正负电荷 , 故该体系具有振荡的电四极矩 , 它产生电四极辐射 , 如果导体球所在的平面为 平面 , 那么该体系的电四极矩具有 分量 , 下图表示某一直线上振荡的电四极子 , 我们设上下两个导体球用细导线与中间的一个导体球相连 , 当两导线上具有反向电流时 , 上下两个导体球出现同号电荷 , 中间的导体球出现异号电荷 , 此时该体系具有电四极矩分量 , 因此在一般情形下给定电流分布可以同时有电多极辐射和磁多极辐射 .
下面我们要把
中的积分分离为磁矩的贡献和电四极矩的贡献 . 我们把上式积分中的被积函数 改写为 , 其中 是一个张量 , 于是它可以分解为对称部分和反对称部分 , 即
进而得到我们先来看上面积分式右边的第二项 , 由于
故第二项就可以改写为
其中 为体系的磁矩 , 因此这一项产生的辐射是磁偶极辐射 . 我们再来看上面提到的积分式右边的第一项 , 然后把它改写为对所有带电粒子求和 , 即
其中 为带电粒子的速度 , 注意点 , 因此上式的结果为
注意到 是体系的电四极矩 , 因此上面提到的积分式右边的第一项继续改写为
即它产生的辐射是电四极辐射 . 最后我们得到了
其中上式右边第一项是磁偶极辐射的矢势 , 第二项则是电四极辐射的矢势 , 这表明磁偶极辐射和电四极辐射是在矢势 的展开式的同一级项中出现的 .
6.磁偶极辐射
先计算上面的磁偶极辐射项 , 此时辐射区的电磁场分别为
将上面的结果与《电动力学之电磁场的辐射(2)——电偶极辐射和短天线辐射》一文中的电偶极辐射场作比较后得到 , 如果把电偶极辐射场作变换 , 以及 , 那么就可以得到磁偶极辐射场 , 这也反映出 Maxwell 方程组的电磁对称性 . 在自由空间中 Maxwell 方程组对于下面的变换 和 是满足电磁对称的 , 如果电磁场 和 是 Maxwell 方程组的解 , 那么作变换后的电磁场也是 Maxwell 方程组的解 .
为了计算磁偶极辐射的平均能流密度 , 我们继续计算磁场
这里需要用到 , 于是得到
其中 是磁矩的振幅 , 为极角或以 方向为极轴的方位角 , 则辐射磁偶极辐射总功率为
如果一个载流线圈半径为 , 激发电流的振幅为 , 那么它的磁矩振幅 , 进而它的辐射功率为
当 不变时磁偶极辐射功率正比于 , 因此磁偶极辐射比电偶极辐射小 数量级 , 这表明小线圈的辐射能力比短天线更低 .
7.电四极辐射
现在计算上面的电四极辐射项 , 我们定义矢量 , 则上面的电四极辐射项改写为
此时辐射区的电磁场分别为
由上面的讨论可知 , 对 加上 方向的项并不影响辐射区的电磁场 , 因此和恒定场的情形一样 , 我们可以使用电四极矩的新定义 , 即 和 , 其中 为单位张量 , 如此定义的电四极矩只有 个独立分量 .
事实上电四极辐射的平均能流密度为
如果某一直线上振荡的电四极子以频率 振荡 , 那么我们可以计算出它的辐射角分布和辐射功率 , 此时该体系的电四极矩张量为 , 而
进一步计算可知
如此一来就有
这表明某一直线上振荡的电四极辐射的角分布由因子 确定 , 即由 确定 , 下图表示某一直线上振荡的电四极辐射的角分布 .
而电四极辐射的辐射功率为
其中 , 这表明电四极辐射的功率正比于 , 由此可知电四极辐射与磁偶极辐射是同数量级的 , 但比电偶极辐射小 数量级 .
多极辐射在原子物理中具有重要的意义 , 由辐射概率(正比于经典辐射功率)和角分布可以推出电磁辐射的多极展开的性质 , 因此可以得到关于原子核内部运动的一些信息 .
参考文献和推荐阅读：
(1) 电动力学, by 郭硕鸿
(2) 经典电动力学, by John David Jackson
(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths
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