抽象代数中的环论（第八篇）：唯一析因环上的一元多项式(仍是一个唯一析因环)

 上一节我们讨论了一般的域上的一元多项式环, 我们发现具有很强的结构, 它是ED, 进而是PID和UFD. 于是适用于我们在本系列三、四、五三讲当中给出的诸多性质和方法. 域的结构很强, 的强结构也是源于此. 本节我们讨论稍弱的结构: UFD上的一元多项式. 我们用表示一个UFD, 它上面的一元多项式环记作, 一旦遇到这两个符号就应该按照这里规定的意思进行理解. 本节的核心任务是证明: 也是UFD.

 在开始本节内容之前, 我们首先将第三讲中关于最大公因子的一些内容摘抄过来, 本节需要使用这些内容. 当时我们以引理3.15.1(2,3)的标号给出了如下三个结论:

(1)

(2)

(3)

根据性质(2), 我们很容易将(1)和(3)利用数学归纳法推广到有限个元素, 即

(1-1)

(3-1)

另外, 我们也规定了对任意成立, 因为我们去除了要求存在非零使得的限制, 只要有这样的存在即可. 补充了该规定之后我们也有成立.

 按照最开始的时候我们的叙述, 交换整环上的一元多项式环也是交换整环, 且的单位和的单位是一样的. 现在对于唯一析因环, 它上面的一元多项式环的单位自然和的单位也是一样的. 在本节, 我们将单位群记作. 于是. 有了这些准备工作后我们即可正式研究的结构了.

3. 唯一析因环上一元多项式环的基本理论

 注意中的多项式不像中的多项式那样通过即可得到一个和原本多项式相伴的首一多项式, 因为未必存在, 除非. 因此我们必须想办法找到中类似于中首一多项式那样的对象. 首一多项式由乘以一个系数将首项系数归一化得到, 我们可以将这个操作理解为提取了各项系数的一个公因子, 按照这个想法, 我们可以通过提取系数的公因子得到一个和只相差一个常系数的多项式, 显然, 当我们提取的公因子为最大公因子的时候这样得到的多项式在相伴的意义下唯一. 提取最大公因子后剩下的系数的最大公因子自然是, 从这个推理过程中我们不难猜想, 中的任意一个多项式都可以写成一个各项系数的公因子为的多项式乘以一个中元素, 并且这种写法在相伴意义下唯一. 方便起见, 我们引入下述概念:

定义3.1(容度与本原多项式): 设且, 则称为多项式的容度. 若, 则称为中的本原多项式. 中的本原多项式的集合记作.

 容易看到, 只要不是单点集, 则就是一个集合, 不过因为知道一个, 则可以通过得到. 我们会使用的双重意义: 一方面, 当参与计算的时候我们将其理解为中的任意一个元素, 另一方面, 我们有时候还会用的这种说法. 这和我们之前处理时的态度是一样的. 现在我们可以将前面的那个猜想表述为:

定理3.2(UFD上多项式的结构): 对任意的, 存在和使得, 且这种分解在相伴的意义下是唯一的, 并且此时.

证: 我们只要按照前面的那个思路进行即可, 设

令, 即, 则存在使得, 利用开始时给出的(1-1)式, 就有

因为我们是在UFD上讨论问题, 有消去律成立, 因此上式指明

于是我们找到了多项式和使得. 现在我们证明唯一性. 假设存在的另一个分解, 其中. 等式两边容度相同(在相伴的意义上), 于是我们得到, 于是存在使得, 进而, 由消去律可知, 换言之. 于是我们看到这种分解在相伴意义下确实是唯一的. 

 本原多项式有着诸多性质, 这里列举一二:

性质3.3.1: 若为零次多项式, 且常数项为单位, 即, 则.

证: 因为我们知道对于任意的, 总有, 于是如果, 必有, 即.

性质3.3.2: 次数大于零的不可约多项式是本原多项式, 即若且不可约, 则.

证: 设是不可约多项式且, 则没有非平凡的真因式. 根据定理3.2, 我们有, 其中. 现在若, 则, 于是, 于是是本原多项式. 若, 则, 意味着, 从而是非平凡的真因式, 这与不可约矛盾! 于是, 从而是本原多项式. 

性质3.3.3(Gauss引理): 对乘法封闭, 从而关于乘法构成交换幺半群.

证: 设, 且令

记, 则

其中

我们现在要证明. 用反证法, 假设, 则, 或者说. 因为是UFD, 于是一定可以写成中不可约元素的乘积, 而UFD满足素性条件, 即不可约元一定是素元, 于是必然存在中素元使得, 进而. 接下来注意到, 因此必然存在使得

因为假设上面的结论不成立则与是素元矛盾(注意素元是非单位的非零元). 注意到

因为, 因此我们必须有, 因为是素元, 因此此时有或者, 这与前面提到的且矛盾! 因此假设不成立, 从而, 或者说, 于是为本原多项式.

 因为对乘法封闭, 而多项式环上乘法自动满足结合律和交换律, 于是是交换半群. 另外性质3.3.1则指明, 于是是交换幺半群. 

 因为是交换整环, 因此根据第五讲的内容我们知道它可以扩张为它的分式域, 于是我们还可以得到一个域上多项式环, 于是一个自然的问题就在于和有怎样的关系(显然)? 由于和均存在相伴关系, 尽管里面的相伴能够推出里面的相伴, 但是反过来不成立. 因此我们有必要对两种相伴予以区分. 在后面, 我们用表示的分式域上的一元多项式环, 中的相伴关系记作, 中的相伴关系记作. 根据前面的叙述, 我们有

根据定理3.2, 任何一个中多项式均只和本原多项式相差一个常因子, 因此我们很关心中多项式和中多项式的关系.

 我们以有理系数多项式为观察对象, 不难发现, 这个多项式可以和一个整系数多项式建立起关联, 因为和相差整数倍, 因此和在有理系数多项式环意义下相伴, 并且此时我们看到作为整系数多项式环中多项式, 满足, 于是是本原多项式. 换言之, 从这个例子中我们看到中的多项式在意义下和中多项式相伴. 这个结论可以推广到一般:

定理3.4: 对任意的, 存在使得, 且在意义下是唯一的.

证: 这个证明只要把我们前面那个例子推广到一般即可(首先给多项式整体乘以各项系数分母的公倍子将系数化成中元素, 然后提取公因子最终得到本原多项式), 设

其中, 且. 令, , 则

我们令, , 则且. 并且我们有

因此我们找到了本原多项式以及使得, 从而.

 接下来我们证明在意义下的唯一性. 现在我们假设, 其中. 由于, 于是, 因此存在, 其中使得, 进而, 于是我们找到了中多项式的两个满足定理3.2的分解, 根据该定理, 我们必然有. 

 在上面的证明当中我们可以提取一个中间结论:

推论3.4.1: 设且, 则.

结合最开始的时候我们指出相伴推出相伴, 我们看到本原多项式上的相伴与相伴是等价的.

 根据定理3.4, 对于任意的, 存在使得

因为, 于是同样存在使得

那么, 和又满足怎样的关系呢? 同样的思路, 我们设

其中, 于是

换言之

因为我们在性质3.3.3当中已经证明关于乘法封闭, 因此上面, 和之前一样, 我们找到了一个多项式的两个满足定理3.2的分解, 于是根据该定理我们得到

总结一下, 我们得到

推论3.4.2: 设, 且, , 则.

 接下来我们考察和中多项式的关系, 对于多项式而言, 乘积是个重要的概念, 我们引入如下概念:

定义3.5(可降次分解多项式): 设是交换幺环上的一元多项式环, 如果满足存在且使得, 则称是可降次分解的, 在不产生混淆的情况下简称可分解.

 可分解和可约是很相似的说法, 但是区别在于可约只要求有非平凡的真因子, 可分解则是对的因子的次数做了具体要求. 假设是可分解的, 且, 则

因为, 因此, 进而

这表明可降次分解多项式至少是二次及二次以上多项式, 换言之, 一次多项式必然是不可分解多项式. 而可约多项式要求有非平凡真因子, 注意一般的多项式环上非平凡真因子未必是一次以上多项式, 因此可约和可分解还是有差别的.

性质3.5.1: 交换整环上的可分解多项式必然是可约多项式.

证: 设是交换整环, 则和的单位群均为, 若是可分解的, 则存在且使得, 因为, 从而是的真因子, 由于, 因此是非平凡的真因子, 因此是可约多项式. 

 那么这个结论能不能反过来呢? 即交换整环上的二次与二次以上可约多项式是否一定是可分解多项式呢? 答案是否定的, 我们考虑中的多项式, 这个多项式的次数为, 它不能分解为两个一次因式的乘积, 因此是不可分解的, 但是, 因为且, 因此是的非平凡真因子, 于是是可约的, 换言之是上的可约但不可分解多项式. 上述命题的逆否命题也是很重要的:

性质3.5.2: 交换整环上的不可约多项式一定是不可分解多项式.

 但是如果我们将交换整环放宽到域上来, 则有一个漂亮的结果. 假设是域上的可约多项式, 因为的单位群为, 因此如果有非平凡的真因子, 则, 换言之, 而意味着存在使得, 由于是非平凡的真因子, 因此, 于是此时也有, 因此就写成了两个次数非零的多项式乘积, 即是可分解的. 换言之:

性质3.5.3: 域上的可约多项式必为可分解多项式, 反之亦然; 进而域上的不可约多项式和不可分解多项式等价.

 现在让我们回归到和中的多项式上来, 讨论它们上面不可分解多项式的关系:

推论3.4.3: 设且是中不可分解多项式, 则也是中的不可分解多项式.

证: 用反证法. 假设是中的可分解多项式, 则存在使得且. 根据定理3.2和定理3.4, 存在使得, , , 而能够推出, 再根据推论3.4.2我们知道.于是存在使得. 考虑到, 因此存在使得, 进而我们看到, 因为