写在前面：我们继续献上理论物理学之电动力学的内容 , 欢迎继续关注"研数学 习物理"！
其实我们已经在《电动力学专题：电势的两种多极展开和电势的球谐函数展开》一文中讨论了相关内容 , 本文我们重新来整理电多极矩的相关内容 .
1.电势的多极展开
众所周知 , 在真空中给定电荷密度 所激发的电势为 , 其中上边的体积分的积分区域 为电荷分布区域 , 而 为场点 到源点 的距离 . 事实上在许多物理问题中 , 电荷仅分布在一个小区域内 , 而要计算的电场强度的场点 距离电荷分布区域较远 , 即在上面的电势的表达式中 远远大于区域 的线度 , 这时候我们可以把电势的表达式 改写为关于 的多项式展开的形式 , 并由此得出电势 的各级近似值 . 具体应用于原子物理中 , 我们知道原子核的电荷分布于 线度范围内 , 而原子内的电子到原子核的距离的线度为 , 因此原子核作用到电子上的电场可以用电势的多极展开的方法来计算各级近似值 .
在区域 内取一点 为坐标原点 , 用 表示从原点 到场点 的距离 , 即 , 那么有
此时源点 在区域 内发生变化 , 由于区域 的线度远小于 , 故可以把 的各个分量看作小参量 , 于是把关于 的函数在 处作展开 . 我们设 是关于 的任意一个函数 , 那么在 附近有下面的展开式 , 即
取 , 代入上式后得到
再将上式代入 中就有
令 , 和 , 那么上式可以继续改写为
而 . 因此我们得到了电荷体系所激发的势在远处的多极展开式 , 为电荷体系的电偶极矩 , 为电荷体系的电四极矩 , 而 为电四极矩的分量 .
2.电多极矩的性质
现在我们来讨论电势 的展开式
的各项的物理意义 .
展开式的第一项 是在原点的点电荷 激发的电势 , 因此我们可以把它理解为电零极矩 , 作为第一级近似 , 则把电荷体系集中于原点处 .
展开式的第二项 是电偶极矩 产生的电势 , 如果一个体系的电荷对于原点呈对称分布 , 那么它的电偶极矩为零 , 由于 且假设点 和点 具有相同的电荷密度 , 故此时积分值 , 于是只有对于原点而言不对称的电荷分布才有电偶极矩 , 事实上总电荷为零而电偶极矩不为零的最简单的电荷体系是一对正负点电荷 , 即设点 处有一点电荷 而点 处有一点电荷 , 进而这个电荷体系的电偶极矩为 , 其中 为由负点电荷到正点电荷的矢径 .上图为具有电偶极矩 的电偶极子 , 它在点 处产生的电势为 , 如果 , 那么有 和 , 于是
其中 , 因此这个电偶极子产生的电势为
正好与 相符合 .
展开式的第三项
是电四极矩 产生的电势 , 根据电四极矩分量的定义 可知 , 电四极矩是一个张量 , 它有 个分量 , , , , 和 , 但实际上只有 个独立分量 , 下面我们来讨论这些电四极矩分量的物理意义 .上图为 轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系 , 这个电荷体系可以视为一对电偶极子 和 组成 , 设正电荷位于 , 负电荷位于 , 这样一来该电荷体系的总的电荷为零和总的电偶极矩为零 , 而它的电四极矩为
其中 是其中一对电荷的电偶极矩 , 而 是两个电偶极子中心之间的距离 , 事实上该电荷体系所产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势 , 于是我们得到
正好与 相符合 .
同理具有 分量的最简单的电荷体系由 轴上的一对正电荷和一对负电荷组成 , 具有 分量的最简单的电荷体系由 轴上的一对正电荷和一对负电荷组成 , 而具有 分量的最简单的电荷体系由 平面上的一对正电荷和一对负电荷组成 , 具有 分量的最简单的电荷体系由 平面上的一对正电荷和一对负电荷组成 , 具有 分量的最简单的电荷体系由 平面上的一对正电荷和一对负电荷组成 , 如下图所示 .下面我们来证明电四极矩只有 个独立分量 , 当 时有 , 接下来引入符号 , 此时 可以改写为 , 于是就得到了
进而我们重新定义电四极矩张量分量为 且满足关系式 , 因此它只 个独立分量 , 然后我们就可以得到 , 其中 为单位张量 .
如果电荷分布具有球对称性 , 那么有
故 , 而且显然有 , 进而球对称电荷分布没有电四极矩 . 事实上这个结果是很普遍的 , 球对称分布的电场也具有球对称性 , 故由 Gauss 定理可知 , 球外电场和集中于球心处的点电荷所产生的电场一致 , 因此球对称电荷分布没有各级电多极矩 , 反之如果电荷分布偏离球对称性 , 那么一般就会出现电四极矩 , 即在沿 轴方向拉长了的旋转椭球体中 , 如果内部电荷分布均匀 , 那么有 , 于是出现电四极矩 和 , 这表明电四极矩的出现标志着电荷分布偏离球对称性 , 因此我们在测量远场的电四极矩的时候就可以对电荷分布形状作出一定的推理 , 作为应用 , 在原子物理学中电四极矩是反映原子核形变的大小点的重要的物理量 .
参考文献和推荐阅读：
(1) 电动力学, by 郭硕鸿
(2) 经典电动力学, by John David Jackson
(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths
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