对平面几何与射影几何的降维打击！代数几何中的曲面专题(第十二篇)：射影空间 P^3 中的三次曲面(下篇)

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我们打算利用7月和8月把最后一章——曲面的内容更新完成！主要还是简单地补充一下原文中的一些不那么详细的地方以及修改部分笔误 . 本文是代数几何中的曲面专题的第十二篇 , 主要内容是射影空间  中的三次曲面(下) ，原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 , 更多精彩内容请关注：

射影空间  中的三次曲面(下)

我们紧接着《代数几何中的曲面专题(第十一篇)：射影空间 中的三次曲面(上)》继续讨论 中点的三次曲面 , 约定记号如下 , 令 为平面上的 个点 , 它们没有 个点 共线且所有的 个点不在同一条二次曲线上 , 而 为经过 的平面三次曲线的线性系 , 为由《代数几何中的曲面专题(第十一篇)：射影空间 中的三次曲面(上)》中的推论7所得到的非异三次曲面 , 即 同构于 对 个点的胀开 , 以及 为投射 , 为例外曲线 , 为它们相应的线性等价类且 为 中的直线在 作用下的等价类 .

命题8：设 为 中的一个非异三次曲面 , 则有

(i) 且由 生成 ;

(ii) 上的相交配对由 , , 和 给出 , 其中 ;

(iii) 超平面截影为 ;

(iv) 典则类为 ;

(v) 如果 为 上的有效除子 , 那么 , 且作为 中的曲线 , 的次数为 ;

(vi) 的自相交数为 ;

(vii) 的算术亏格为

证明：上面命题中的这些结果均可以由早点的结论推得 , (i)和(ii)可以根据《代数几何中的曲面专题(第八篇)：独异变换(上)》中的命题2推出 , (iii)则可以根据在 中嵌入的定义得到 , 而(iv)是根据《代数几何中的曲面专题(第八篇)：独异变换(上)》中的命题3推出 , 对于(v)只需注意到 的次数为 即可 , (vi)的话直接根据(ii)得到 , (vii)的话根据《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》中的命题5——相伴公式 推出 , 但 则是由(iv)推出 .

我们来对上面的命题8作一些说明 , 设 为 的任意不可约曲线同时也不是例外曲线 , 则 是一条不可约曲线 , 反之如果 是可约曲线 , 那么 是 的严格变形 , 此时设 的次数为 且在每个点 处的重数为 , 则根据《代数几何中的曲面专题(第八篇)：独异变换(上)》中的命题6可知 , , 由于 , 故 , 因此对任意的 , 等价类中的任何一个三次曲面 上的不可约曲线都可以作为一条次数为 次平面曲线的严格变形 , 且这条平面曲线在点 处的重数为 , 因此研究三次曲面 上的曲线可以转化为研究某种平面曲线 .

定理9( 条直线定理)： 中的三次曲面 上正好包含 条直线 , 每一条直线的自相交数均为 且它们是 上仅有的具有负的自相交数的曲面 , 它们分别是

(i) 条例外曲线 ;

(ii) 条在 中联结 和 的直线的严格变形 , 其中 ;

(iii) 条在 中经过 个点 的圆锥曲线的严格变形 , 其中 , .

证明：首先如果 是 上的任意直线 , 那么有 和 , 故根据命题8可知 , 反之如果 是 上的不可约曲线且满足 , 那么再根据命题8可知 , 由于 , 故一定有 , 和 , 因此 为直线 . 其次我们可以根据命题8的补充说明可知 , , 和 , 则由命题8立马可以得到它们的次数均为 , 即均为直线 . 然后要证明的是如果 为 上的任意一条不可约曲线且满足 和 , 那么 一定是定理中所列出的 条曲线之一 . 我们使用反证法 , 假设 不是 中的任意一条 , 则可以记作 , 于是根据命题8的补充说明可知 , 有 和 , 其中 , 另一方面我们有 和 , 那么问题转化为要证明满足上述条件的整数 只是那些对应于 和 中的整系数 , 我们利用 Cauchy-Schwarz 不等式 , 即如果 和 分别是两列实数 , 那么有 , 于是取 和 , 其中 , 就得到了 , 将 和 代入上式就有 , 此时 或 , 因此1我们就找到了所有的可能值 , 如果 , 那么 , 对于某些 其余的 均为零 , 这就给出了 , 如果 , 那么所有的 但其中只有一个 , 这就给出了 .

我们来对上面的定理9作一些说明 , 事实上有许多经典射影几何的内容与 条直线定理有关 , 在 中的 条直线构成的图形我们称为 Schläfli 倍六直线形 , 其中这些 相互交错 , 也相互交错 , 而 和 相交的充要条件为 , 而且还可以证明如果给出直线 以及与它相交的 条直线 , 且它们位于充分一般的位置 , 那么其它直线 可以唯一确定 , 使得这 条直线构成一个 Schläfli 倍六直线形 , 另外每一个 Schläfli 倍六直线形包含在一个唯一的非异三次曲面中 , 从而构成一个三次曲面的 条直线中的部分图形 , 详细内容可以参考 Hilbert 和 Vossen 的专著《Geometry and the Imagination》的第25节 .

三次曲面中的 条直线具有极强的对称性 , 我们可以从下面的命题中看到这一点 .

命题10：设 为 中的三次曲面 , 为 上的 条曲线中选取的 条相互交错的直线 , 则另外存在一个态射 使得 同构于 对 个点 的胀开 , 其中 没有 个点共线也没有 个点在同一条圆锥曲线上 , 同时使得 为态射 的例外曲线 .

证明：我们需要上面的交换图表 , 接下来分步骤进行以及每次只考虑一条直线 , 先来证明可以找到态射 使得 的逆像 等于 . 第一种情形是如果 是 中的一个 , 那么令 并进行重新编排下标使得 成为 , 故情形1证毕 .

第二种情形是如果 是 中的一个 , 不妨设 , 那么我们可以利用《代数几何中的曲面专题(第十一篇)：射影空间 中的三次曲面(上)》中的例2所提到的以 为中心的二次变换 , 即令 为 在点 处的胀开 , 为投射 , 而 为《代数几何中的曲面专题(第十一篇)：射影空间 中的三次曲面(上)》中的例2中的另一个映射使得 为在 下的 在点 处的胀开 , 由于 可以将 表示为 在点 处的胀开 , 故得到 可以经过 分解并记作 , 其中 , 现在定义 , 则再次根据《代数几何中的曲面专题(第十一篇)：射影空间 中的三次曲面(上)》中的例2可知 , , 进而有 , 另外 也将 表示为 在点 处的胀开 , 其中 为 在 下的像 , 当我们取 时 分别为 , 于是就有 .

然而我们还需要证明 中没有 个点共线且没有 个点在同一条圆锥曲线上 , 由构造已经得到 不共线 , 如果 共线 , 那么 , 此时 无限邻近于 , 如果 共线且在直线 上 , 那么在映射 下 的严格变形是一条包含 的直线 , 事实上 是由经过 的圆锥曲线的线性系确定的有理映射 , 这类圆锥曲线与直线 有一个自由的交点 , 故 的严格变形为一条直线 , 另外直线 与联结 的直线 相交 , 于是 经过点 , 如果 共线 , 且注意到 是由经过 的圆锥曲线的线性系所确定 , 那么包含 的直线 的严格变形就会是包含 的圆锥曲线 , 事实上这是不可能的 , 同理可以证明如果 在一条圆锥曲线上 , 那么会使得 共线 , 这也是矛盾的 , 因此情形2证毕 .

第三种情形是如果 是 中的一个 , 不妨设 , 仿照第二种情形的证明过程 , 仍然可以利用《代数几何中的曲面专题(第十一篇)：射影空间 中的三次曲面(上)》中的例2所提到的以 为中心的二次变换 , 由于 是经过 的圆锥曲线 , 故 是经过 的直线 , 进而得到 是对于映射 下的曲线 , 这样就转化到了第二种情形 .

现在我们已经将 移动到 的位置了 , 故设 并考虑 , 由于 和 不相交 , 故 只可能是 , 其中 , 接下来应用上面的第一种情形 , 第二种情形和第三种情形中的同样的方法 , 就可以将 移动到 而保持点 不动 , 也就是说只要利用对 的重排下标或基于 中其中 个点的二次变换即可完成 . 继续进行上述操作 , 我们可以固定 和 , 最后还剩下三条直线 与 不相交 , 注意到 与 相交 , 故 必定为 或相差一个置换 , 因此最多变换一次下标 和 , 整个命题证毕 .

下面我们来对上面的命题10作一些说明 . 这个命题说明了这 条直线中任意 条相互交错的直线都可以成为 , 而表示它们的另一种方式是考虑这 条直线的构形且未必在曲面 上 , 即仅仅考虑 条直线 中的元素构成的集合以及元素之间满足的关联关系 , 其中 和 , 事实上它们之间的关联关系很容易就可以根据命题8和定理9得出 , 更确切的描述如下 , 当 时 与 不相交 , 和 相交当且仅当 或 , 和 相交当且仅当 , 和 相交当且仅当 全不相同 , 和 相交当且仅当 或 , 当 时 与 相交 . 这样一来 可以成为 则意味着有另外的对于 条直线的下标从 开始编排 , 使得这 条直线满足相同的关联关系 , 换句话说 , 存在一个该构形的自同构将 变为 , 即 个元素集合的一个保持关联关系的置换 ,  另外 则唯一确定了剩下的 条直线 , 即 是唯一与 相交而不是其它的 相交的直线 , 是唯一与除了 外的所有 相交的直线 . 于是命题10表明对于 条直线中的 条相互交错的直线的有序集 , 存在这个构形的一个唯一的自同构将 变为这个集合的 个元素 , 由于任意的自同构必定将交错的直线置换为交错的直线 , 进而我们可以得到这个构形的自同构群 的所有元素 , 那么根据上面给出的关联关系很容易就得到这 条交错直线的选取方式的数量 , 即 有 共 种选择  , 有 共 种选择 , 有 共 种选择 , 共 共 种选择 , 共 种选择分别是 和 , 此时群 的阶为 . 我们还可以证明群 同构于 Weyl 群 且它包含了一个指数为 的正规子群 , 它是 阶单群 , 更多关于 Weyl 群的内容可以参考 Manin 的专著《Cubic forms：Algebra , Geometry , Arithmetic》中的第25节和第26节 .

既然如此我们简单地介绍一个 Weyl 群 . Weyl 群是给出由某些点以及它们之间的联结的线段组成的图形 , 并用生成元与关系定义的一个抽象群 , 每一个点代表一个生成元 , 而关系则是对于每一个 有 , 如果 和 之间没有联结线段 , 那么有 , 如果 和 之间有联结线段 , 那么得到 .

第一种情形是 Weyl 群 可以用 个点的构成的图形来定义 , 每个点与相邻的点彼此联结 , 如下图所示可以证明 同构于对称群 , 我们将 的生成元映到 中的元 就得到了一个满同态 , 由于 的元素 的个数为 , 故为同构 .

第二种情形是 Weyl 群 可以用 个点构成的图形来定义 , 如下图所示设它的生成元为 , 则可以证明从 到 条直线构形的自同构群 为满同态 , 即将 分别映到 之间的置换 , 而 映到由中心在 的二次变换对应的元素 , 通过计算 的元素个数为 , 从而有 .

我们可以利用这 条直线的对称性来确定三次曲面上的丰沛除子和极丰沛除子 , 则有下面的定理 .

定理11：对于三次曲面 上的除子 , 下面的条件等价

(i) 为极丰沛除子 ;

(ii) 为丰沛除子 ;

(iii) 且对每条直线 有 ;

(iv) 对于每条直线 有 .

在证明上面的定理之前 , 我们先来看一个引理 .

引理12：设 是三次曲面 上的除子等价类 , 其中 和 , 则 是极丰沛除子 .

证明：根据《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》中的定理1的证明过程所涉及的在 Noether 概形 上的丰沛可逆层和极丰沛可逆层的一些性质可知 , 一个极丰沛除子加上无基点线性系中的任意一个除子仍为极丰沛除子 , 故现在我们要考虑除子的等价类 , 即

于是 和 对应于 中直线的线性系 , 它有 个或 派定基点而没有非派定基点 , 而根据《代数几何中的曲面专题(第十一篇)：射影空间 中的三次曲面(上)》中的命题1可知 , , 和 没有基点 , 且《代数几何中的曲面专题(第十一篇)：射影空间 中的三次曲面(上)》中的命题3可知 , 也没有基点 , 再根据《代数几何中的曲面专题(第十一篇)：射影空间 中的三次曲面(上)》中的定理6可知 , 是极丰沛线性系 , 那么它们任意的线性组合 满足 和 时是极丰沛线性系 . 显然 构成 的一组自由基 , 令 , 此时

进而我们很容易就证明了条件 和 等价于 和 , 因此满足这些条件的所有除子均为极丰沛除子 .

下面我们来证明定理11 . 应用《代数几何中的曲面专题(第二篇):曲面上的几何(下)》中的定理10即 Nakai-Moishezon 判别准则 , 我们很容易就可以证明 (i) (ii) (iii) (iv) , 而对于 (iv) (i) , 则需要用到引理12 .

设 是满足 的除子 , 其中 为任意直线 , 选取 条相互交错的直线 如下 , 即 为使得 等价于 取最小值的任意直线 , 为使得 等价于对所有与 不相交的使得 取得最小值的直线 , 类似地我们得到 和 , 此时正好还剩下三条直线与 不相交 , 它这三条直线中的任意一条直线却与另外两条直线相交 , 故选取 使得 . 根据命题10可知 , 我们设对所有的 有 , 以及令 时就得到 , 故由构造可知 , 另一方面在选取 时 是满足被选取的条件的 , 故有 , 即 , 进而得到 , 这些条件刚好满足引理12的条件 , 因此利用引理12就得到了 为极丰沛除子 , 定理11证毕 .