沟通关联，感悟运算本质的一致性 

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沟通关联，感悟运算本质的一致性 

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老师们大家好，这一讲我们聚焦数的运算，来聊一聊，如何沟通关联，让学生能够感悟到运算本质的一致性。我们知道数与运算的主题学习不再是一个例题的散点教学，一个习题、一个习题机械重复训练的学习。那么主题教学我们就要围绕着核心概念的理解与核心素养的培育来确定好单元的学习主题，统领整个单元的学习，来建立知识之间的联系，来形成具有一致性的相互贯通的整体结构。下面我们就以整数除法、小数除法、分数除法为例来看一看运算本质的一致性。首先我们来看分数除法，然后回过头去我们再看看分数除法与小数除法、整数除法有怎样的关联。一张纸的 4/ 5 平均分成两份，每份是这张纸的几分之几？同学们试着折一折，算一算。老师们想一想学生会怎样解决呢？看这里，在这里我选取了三位学生的作业。学生1，他是怎样想的呢？4/ 5/ 除以2 该怎么理解？就是把4/5平均分成两份儿，求一份儿理解正确。接下来他继续说4/5就是4个1/5，看来这个同学对分数概念的理解也是到位的，接下来他又怎么想呢？4除以2 是什么意思呢？同学们质疑了，你 4除以2 是什么意思呢？他说就是把四个1/5分成两份，就得到两个呀。同学们又问了，两个什么？我分的是什么就是什么，我分的是四个1/5，两个自然是两个1/5了。1 号学生理解的，解释的都很好，当然他在表达上没有把最后的结果 2/ 5 写出来。但是这位同学他对概念的理解是到位的，对算理的理解也是到位的。

2号同学用几何直观，我们大家看到一张纸的4/5平均分成两份，每份就是2/5，非常直观。3 号学生直接乘这个数的倒数，但是当我追问的时候，你为什么要乘这个数的倒数呢？道理是什么？却一脸茫然，不知所措。除以2的问题解决了，那么学生卡在了哪呢？请看，这是我在北京房山和孩子们一起学习的情景，男同学卡在了，得不到整数，结果他说 4除以 2 得2，很快得到了 2/ 5，但是 4除以3 得不到整数结果卡住了。女同学也被卡住了，我们看看她的卡点在哪里？4/ 5除以3 每份儿分走了三个 1/ 5，还余下一个 1/ 5 出现了什么问题？他说，不够分了，两个人都遇到了卡点，但不是一个卡点上。

我们这次22版新课标提出了教学中要帮助学生从未知走向已知。如何从未知走向已知？我以为首先是经验的迁移，通过原有的经验迁移过来，为解决问题打开通道，那么经验的迁移首先要经验的激活。此时我提了这样的几个问题，第一我问同学们，你们在整数除法中遇到过除着除着不够除了的情况吗？大家点点头，我继续问，在小数除法中你们遇到过这情况吗？他们又点点头。

第三个问题我问的是，那当初你们是怎样解决的呀？老师们一语点醒了梦中人。是啊，当初是怎样解决的呢？大家看一看，1/5不够分了，卡住了。那我们回到整数啊， 97除以4。在这样的计算当中，你们也遇到了什么问题？余下一个10，这个10不够分了，分成4份，得不到一个整十了，你们当初怎么办的？老师，我们就把它变成了10个一和7个一，继续分。是啊，余下的一个10变成了10个一，这不就是把单位细化成小一点的单位继续分吗？又余下的一个一不够分了，结果是 24 余一。

当时讲整数除法的时候有余数除法，我们如果有关联的思想，在这儿是不是可以尝试着提出这样一个问题呢？同学们，今天我们学习了有余数的除法，下课的铃声已经响起来了，有这样一个问题，你们想过吗？最后余下的这个1，此时没办法再分了，也不知道未来会不会有一天这个1还能继续分呢？铃声响了，思未断，情未了。是啊，这个小1在整数范围内真的是不能再分了。

以后我们看到了高年级学习了小数除法，请看 97除以4，我们就在整数有余数除法的基础上，继续研究，又余下一个1，这个1该怎么办呢？又遇到不够分的情况，不够除的情况孩子们说还是把它继续分呀。把这个1细化成了 10 个0.1，继续分。又余下了两个0.1。又遇到了不够除、不够分的情况了，怎么办呢？继续细分单位，把两个0.1细化成20个0.01，继续分，正好分完。唉，在小数除法中你们是怎么做的？也是把余下的不够分了，继续分成小一点的单位，数量多了又可以分了。那同学们回头看，整数除法、小数除法。你们分的是什么？分的都是计数单位，当计数单位不够的时候怎么办？

细化再分。当时有一位同学喊起来，老师，会不会有一天永远也分不完呢？还没容得我讲话，又一个声音出现了。老师，那是不是螺旋小数啊？他所说的螺旋小数也就是循环小数啊。老师们，到这里我反问同学们，小数除法里遇到了不够分，整数出发离也遇到了不够分，你们就这样处理了。此时分数除法我们又遇到了 1/ 5 不够分成 3份的情况了，怎么办呢？同学们，是老师讲呢？还是你们自己试一试呢？我们试一试。

老师们，请看。1/5平均分成三等份，不够分了就把它细化成小一点的单位，1/15三个，继续分三个，1/15分成3份，每份是1/15。问题解决了，当然也可以直接把 4/ 5 变成 12 个1/ 15 都是可以的。整数除法、小数除法、分数除法，一个道理都是在分计数单位。当不够分的时候，做法也是一样的，把单位变得小一点，数量多一点，可以继续分。老师们，这个过程让我们感受到整数除法、小数除法、分数除法他们的一致性。大家看到这个屏幕整数除法、小数除法、分数除法，只要我们从单位的角度去思考和认识他们的本质，去理解除法的意义，打通小数除法、整数除法、分数除法的关联，在沟通关联中发现他们本质的一致性。建立了这样一个整体结构，就可以让孩子能够感悟到除法运算的一致性。

沟通了关联，感悟到整数、小数、分数、除法的一致性。我们不就是要建好除法意义的承重墙？通过孩子的探究、探索、讨论，获得了好的方法，理解了其中的意义，打通了他们之间的关联。那么本质都是以计数单位这个核心要素有关联，就是在不断的细分这个单位的过程，我们看到了数与运算的一致性。

那么在讲除法的时候，大家看到细分单位还记得吗？我们在讲数概念的时候，上一讲我们提出来讲分数、小数概念的时候，也要关注到数概念的一致性。我们也打开了一扇窗，从细分单位的角度来认识分数和小数的概念，所以我们说数运算也是对数概念的一个解读。大家回忆一下，上一讲我们认识0.66，那0.66是怎么来的呢？就是一个细分单位的过程，如何让学生体会在树的概念中体会单位的细分，为后面的除法运算做好基础呢。下面我们一起来看一看这段教学片段。好了，我们涂的阴影部分可以用 0.6 来表示，现在变了，好好的看，看这，我又在这张纸片上涂了一点红色，现在还能用 0.6 来表示阴影部分吗？不能。此时的你想说什么？最想说的是什么？那个男孩你要说什么？

我，我没举手。

没举手，不知道怎么表示了。不知道就告诉我，我也不知道怎么办了，你呢？

还没想好，不急，你有想法了。

0.61。

他说0.61。你说什么你就把你的放出来，你想问你怎么？凭什么？问他。

为什么要变成0.61？

为什么呀？我怎么看不出来？一定吗？不一定，不一定。那你们有什么高见吗？那不整整是 0.6 了，他会怎么样？你觉得他会怎么样？

0.7   变成0.7。

他会0.7吗？对对对，又没有可能。那0.7应该怎么表达呀？姑娘过来，0.7，这是0.6。0.7得怎么样啊？指一指得把这一条儿涂满。

对不起，我哪儿涂满了？我涂满了我就知道是0.7了，我就涂了一点点呀。它大概会？

那一条线，那一条线把它分成十份。

来，他要把那一条的要干事了，他提出分一分来，红笔给你。好，轻轻分。嗯，它就这样，你想把它分成几份？10 份。那你说这份占多少呢？这一份 1/ 10。

将它分成十份的话，这一份就占 1/ 10。

1/ 10 就是

0.1。

那我们这才是0.1，他说这一块就是0.1。大家不同意说呀？站起拿着话筒就说。

0.01。对对

你再说一遍。

0.01。

他说了一个词叫什么？01，0.01是几分之一啊。大点声喊出来，大点声音是 1/ 100，那这格子里我怎么看不到100？你心里有一百，来，是 1/ 100，谁有谁过来，不用举手。谁有谁过来。红笔给人家，你说是0.1，这才是0.1，不对，他说是1%。来，我怎么你不用讲了，你干吧，我把它放下来说一下，说不行。你不是1/100吗？我怎么看不到？100个格子？

这里我就看见还是一个两个，我怎么看不见 100 个格子呢？终于他把这条线拉得长好长好长。我听懂了，哎，就拉到这了，要延伸到这边，你说什么？要什么？

要延伸到最尽头。

不分了，你们听懂没？

听懂。

了，这个男孩他要试图把这个格子一直要通下去。分呀分，你要分成多少份？100 份，看看他如果只占一份的话， 1/ 100 写成小数，该怎么写都会写，你说呀。

0.01。

真的，同学们，你看看刚开始的时候你们发现了比 0.6 多一点，比 0.7 又少一点，会不会在它们中间又生长出一个新的。

你说什么？会不会。

长出一个新小数？

他问我会不会长出一个新小数？长出来没？

长出来了。

怎么长出来的？就是这个伟大的男孩，他过来就把他怎么样了？延分了。叫什么？把这个条条继续延长，就是把它继续。

大点声，继续分，好。刚才我们一起看了这段教学片段，我们看到孩子对细分单位这件事情，对抽象成计算单位来认识数还是有一定困难的，他们仍然停留在整数的思考。6 个一，6个十，那么通过老师的引导，这6个一条和整个的大1有怎样的关系？1/ 10，那就是0.1，6个就是六个0.1。再来看这个 6 ，一个小方格，它和整个的大1有怎样的关系呢？是 1% ，1: 100 的关系，那就是0.01， 6 个这样的小方格， 6 个 0.01 就是 6 个0.01。

我们看通过细分单位让学生去体验这样的一段过程，让我们也感受到数概念的建立。你打开了这扇窗，从细分单位的角度来认识它，那么在运算中不正好运用的就是细分单位这个概念来解释的运算的过程吗？老师们，打通小数除法和小数意义的关联。小数的意义所涉及到的位值、数位、计数单位等等。那么在小数除法中，继续就是把这样的计数单位不断的细分下去，数意义为数运算提供了基础。那么数运算反过去又为数意义提供了再应用、再解读的机会。所以我们说数的概念与数的运算相辅相成、互相依赖，就是因为他们所涉及的要素是一致的，所培育的核心素养是一致的，我们能够从这样一个整体的视角来看，数概念和数运算之间的关联才能建立这种整体的结构。

我在这里以小数的概念与小数除法的运算为例做了一个解读，特别是刚才整体贯通的是整数除法、小数除法、分数除法之间的关联，我们看到了它们的一致性。唉，原来是1元等于10角，你们有没有意见？没有，现在他把一变成了几，十。我听懂了，一就是1， 10 就是10，1怎么能变成 10 呢？你有意见对不对？这个问题提得好，谁来做解读？谁来解释这个矛盾？谁有办法？好？特别想说的就站起来，那个男孩把话筒送过去，嗯，回头看。

我觉得，我们看到 10 的上一题是17元和16元。

我们的问题是， 1 元就是 1 元等于 10 角，我们没意见，现在1变成 10 了，谁愿意到前面去也行，别举手了。愿意去就去呗，你有办法改变你就去，你有办法那你去呗。你没解释清楚，你要说什么？

我觉得这个 0 是他单加的一个数，因为那个 8 如果没有0。

不是，它1就是 1， 10 就是10，你把一写成 10 了，他们之间是有一定的差距的，你有办法。那你去呗，看看他这字说什么。他又拿笔了哦，来呀，他是这儿的事儿，不是那儿的事儿。我知道你又跟辅导班儿学的，现在这事儿怎么办，哦？他又在这儿点了一个谁？这事行不行了？这就变成了1.0，你们学过小数的性质对不对？末尾添 0 减0，大小不变，那么 1.0 我们也可以看作 10 个1角，可以不可以？这事解决了，8是何许人也？来呀来。你别就说先给你。还要拿个粉笔，这有，完啦。等会别着急。你就写你的，还有哈，来来来，谁来，这样就顺理成章。你们同意吗？同意。来，我们好好看一看，你别看，你这加了个点，这个 1点一 加就变成了 10 个一角，然后这 0.8 就变成了 0.8 元，余下两角就变成了0.20，这也就是 20 分。这样一来，刚才我们1是1， 10 是 10 的事解决了没有？解决了。真好，有事儿吗？你又没事儿。

你说什么？那个 0 应该化掉。

谁说的。

因为它 20 分，它也可以变成两角，还可以。

它这是0.20。谁告你的零化掉？你是在哪学的？我。

是在上个学期的小数的意义和性质的。那你把0。

化掉不就变成 20 了吗？不是，你的意见是什么？

我觉得是把小数末尾的 0 去掉。

那末尾的 0 它换成了 20 分，它用 20 分得去除，去得去分去啊。你要有什么意见？谁说话看着谁？

我觉得那个 20 那里的0。

不能去掉，必须得有，对不对？变成20分，那这些0呢？我懂，你们看着有点，大点声别扭，还看着谁有点别扭？除了看这个0有点别扭，还有谁啊？喊出来，一个题里边。

什么。

有大点声。

一个题里面有很多个小数点。

你看着有点别扭，我听懂了，同学们，一个题里边有这么这么多的小数点，你又看着有点别扭，对吧？那咱们就开个会商量商量吧。没有你1就是1， 10 就是10，现在你要变成 10 个一角，你又不可或缺，不可缺少，对不对？那好了，现在这哥五个兄弟开了会了，咱们的小数点整整齐齐的占了一列，咱们商量商量，数学人要求简洁点，咱们能不能这些小数点不写了？可以，那咱们就都把小数点涂掉吧，谁不能涂？他们就是这么商量的。商大哥，你那个点可不能涂，你这个点要是不写了就乱了辈分，我们就不知道是 24 还是 2, 000 多，这个点能不能涂？不能。那我们这些点可以不可以暂时退下来？退下来，那我们整理一下，这样可以不可以？那这兄弟四人就拜托谁了？大哥。谁大哥？

不是最最上面那个24。

最上面那是谁？商，那就管他叫。

大哥。

商大哥，你可不能没有你啊？有了你我们这个位就定好了，这样可以不可以？所以后来我们就变成了这个样子，但是你们知道商大哥说了一句什么吗？管理班那个，你是辅导班那个来商大哥，你也是来商大哥一定会跟他们说，我倒愿意跟你承担这个责任。但是啊，但是，我的这个点可不能，我要看着谁，是要点小数点，商大哥不知道这个小数点在哪啊？商大哥说我一定要看着一个重要的人物，他一定是元的，后面他看谁呢？有被除数，有商大哥看谁？一起说， 被除数。真是这样，他说我一定要看着被除数，所以这个辅导班的女孩上来就要点点，是这个意思，这和点上点了，我后边再添上0大小变不变，小数性质管着呢，对不对？那这样，我们通过这样的整理，如果不点它，这有没有小数？点没有，它不存在吗？只不过没把它表示出来，对不对？所以商的小数点就这样下来了，可以不可以经过我们大家的努力？97除以4 这个 AA 制每个人交多少钱？

24.25 元。

老师们，回顾一下今天的这一讲，我们是以整数小数分数除法为例，前后贯通，感受它的一致性，同时也感受到了数概念和数运算的一致性。就是因为他们所涉及的核心要素一致，计数单位还有位值，十进制。那么所涉及的核心素养的主要表现是一致的，数感、推理意识、运算能力。从内容本质具有一致性，从这个主题所对应的核心素养的表现具有一致性。这通过一致性我们建立起他们的学习主题。我以为这就是通理通法，充分体现了一致性。那么我们老师对教材的本质的把握能够通了，我们才能更好地引导学生通理通法，掌握本质，建立这种结构的整体化。

数以运算的主题学习，我们要注重推理发展思维，落实核心素养。所以在这里我们特别提出来注重迁移，从未知到已知，注重推理，让孩子们从会算到会想，注重系统，从散点到结构，就是我常说的要建好核心知识、核心素养的承重墙，打通知识之间的这样的一个隔断墙，建立起整体的结构，注重关联，从表象到本质，让孩子们去体会到数概念的一致性、数运算的一致性，特别是能够从结构的整体性来把握数学知识的本质，落实核心素养。好这一讲我们就讲到这里，谢谢大家。